Verifique se as séries convergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+\operatorname{sen}(n)}{e^{n}}. (Teste da Comparação.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1+\operatorname{sen}(n)}{e^{n}}
converge, usando o Teste da Comparação. As informações dadas são: a expressão geral do termo é \frac{1+\operatorname{sen}(n)}{e^{n}} para n=1,2,\dots. Não há outras condições adicionais. Vou trabalhar diretamente com essa expressão.

Passo 2

Entender o numerador: lembrando uma propriedade básica do seno, para todo inteiro n vale
-1 \le \sin(n) \le 1.
Isso significa que, somando 1 em todos os lados,
0 \le 1+\sin(n) \le 2.
Aqui usei apenas a desigualdade elementar do seno (em radianos), que vale para qualquer argumento.

Passo 3

Dividindo a desigualdade do Passo 2 por e^{n}>0 (note que e^{n} é sempre positivo), obtemos
0 \le \frac{1+\sin(n)}{e^{n}} \le \frac{2}{e^{n}}.
Portanto os termos da nossa série são não negativos e estão majorados pelos termos \frac{2}{e^{n}}.

Passo 4

Aplicar o Teste da Comparação: a versão que vamos usar diz o seguinte: se 0\le a_n\le b_n para todo n e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge. Aqui podemos tomar
a_n=\frac{1+\sin(n)}{e^{n}},\qquad b_n=\frac{2}{e^{n}}.
Já temos 0\le a_n\le b_n pela desigualdade do Passo 3. Faltam analisar \sum b_n.

Passo 5

Estudar \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{e^{n}}. Essa é uma série geométrica multiplicada por constante. Recorde: a soma da série geométrica \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge para \dfrac{r}{1-r} quando |r|<1. Aqui r=\dfrac{1}{e} e |r|=\dfrac{1}{e}<1, então
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{e^{n}}=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{e}\right)^{n} =2\cdot\frac{\frac{1}{e}}{1-\frac{1}{e}} = \frac{2}{e-1},
ou seja, \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{e^{n}} converge (é finita).

Passo 6

Pelo Teste da Comparação (Passo 4) e pelo fato de \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2}{e^{n}} convergir (Passo 5), concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1+\sin(n)}{e^{n}}
converge.

Passo 7

Comentário adicional útil para a prova: como |1+\sin(n)|\le 2 também, temos
\left|\frac{1+\sin(n)}{e^{n}}\right|\le\frac{2}{e^{n}},
logo a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, então a conclusão é reforçada.

Resposta

A série converge (convergência absoluta).

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