Verifique se as séries convergem:
. (Teste da Comparação.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge, usando o Teste da Comparação. As informações dadas são: a expressão geral do termo é
para
. Não há outras condições adicionais. Vou trabalhar diretamente com essa expressão.
Passo 2
Entender o numerador: lembrando uma propriedade básica do seno, para todo inteiro
vale
Isso significa que, somando 1 em todos os lados,
Aqui usei apenas a desigualdade elementar do seno (em radianos), que vale para qualquer argumento.
Passo 3
Dividindo a desigualdade do Passo 2 por
(note que
é sempre positivo), obtemos
Portanto os termos da nossa série são não negativos e estão majorados pelos termos
.
Passo 4
Aplicar o Teste da Comparação: a versão que vamos usar diz o seguinte: se
para todo
e
converge, então
também converge. Aqui podemos tomar
Já temos
pela desigualdade do Passo 3. Faltam analisar
.
Passo 5
Estudar
. Essa é uma série geométrica multiplicada por constante. Recorde: a soma da série geométrica
converge para
quando
. Aqui
e
, então
ou seja,
converge (é finita).
Passo 6
Pelo Teste da Comparação (Passo 4) e pelo fato de
convergir (Passo 5), concluímos que
converge.
Passo 7
Comentário adicional útil para a prova: como
também, temos
logo a série converge absolutamente. Convergência absoluta implica convergência simples, então a conclusão é reforçada.
Resposta
A série converge (convergência absoluta).