Verifique se as séries convergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)^{n}}{\ln ^{n}(n)}. (Teste da Raiz.)(Use L’Hôpital.)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(2 n)^{n}}{\ln^{n}(n)}
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • O termo geral é \dfrac{(2n)^n}{\ln^{n}(n)}.
  • Observação importante: \ln(1)=0, portanto o termo com n=1 não está bem definido. Vou considerar a série a partir de n=2, isto é
\sum_{n=2}^{\infty} \frac{(2 n)^{n}}{\ln^{n}(n)},
já que para n\ge2 temos \ln(n)>0 e os termos são bem definidos.

Passo 2

Apresento o critério que vamos usar (explicado de forma didática): o teste da raiz (Cauchy).
  • Se (a_n) é a sequência dos termos (aqui positivos para n\ge2), definimos
L=\limsup_{n\to\infty} \sqrt[n]{a_n}.
  • Regras do teste da raiz:
    • Se L<1, a série \sum a_n converge absolutamente.
    • Se L>1, a série diverge.
    • Se L=1, o teste é inconclusivo.
      Explicação rápida do porquê: quando \sqrt[n]{a_n} tende para um número menor que 1, os termos decaem geometricamente (como uma potência c^n com c<1), dando convergência; se tende a algo maior que 1, os termos não caem rápido (ou crescem), levando à divergência.

Passo 3

Calculo a raiz n-ésima do termo geral. Denotando
a_n=\frac{(2n)^n}{\ln^{n}(n)},
temos
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{(2n)^n}{\ln^{n}(n)}}=\frac{2n}{\ln(n)}.
Portanto o valor que interessa ao teste da raiz é
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\ln(n)}.

Passo 4

Para avaliar L vamos analisar o comportamento de \dfrac{\ln(n)}{n} quando n\to\infty. É um limite clássico que mostra que o logaritmo cresce muito mais devagar que uma potência linear. Considere a função real para x>0:
f(x)=\frac{\ln(x)}{x}.
Queremos \lim_{x\to\infty} f(x). Aplicamos a regra de L’Hôpital (condições: numerador e denominador tendem a infinito ou zero; aqui numerador \ln x\to\infty e denominador x\to\infty, então podemos aplicar):
  • Derivada do numerador: \dfrac{d}{dx}\big(\ln x\big)=\dfrac{1}{x}.
  • Derivada do denominador: \dfrac{d}{dx}(x)=1.
    Pela regra de L’Hôpital,
\lim_{x\to\infty}\frac{\ln x}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x}{1}=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.
Portanto
\lim_{n\to\infty}\frac{\ln(n)}{n}=0.

Passo 5

Usando o resultado do passo anterior, reescrevo
\frac{2n}{\ln(n)}=\frac{2}{\frac{\ln(n)}{n}}.
Como \dfrac{\ln(n)}{n}\to 0^{+} quando n\to\infty, segue que
\frac{2}{\frac{\ln(n)}{n}}\to +\infty.
Logo
L=\lim_{n\to\infty}\frac{2n}{\ln(n)}=+\infty.

Passo 6

Aplicando o teste da raiz com L=+\infty>1, concluímos que a série diverge. (Intuição: a raiz n-ésima do termo tende para infinito, então os termos não só não vão a zero, como crescem muito — condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero.)

Resposta

A série diverge.

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