Verifique se as séries convergem:
. (Teste da Raiz.)(Use L’Hôpital.)
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- O termo geral é
. - Observação importante:
, portanto o termo com não está bem definido. Vou considerar a série a partir de , isto é
já que para
temos
e os termos são bem definidos.
Passo 2
Apresento o critério que vamos usar (explicado de forma didática): o teste da raiz (Cauchy).
- Se
é a sequência dos termos (aqui positivos para ), definimos
- Regras do teste da raiz:
- Se
, a série converge absolutamente. - Se
, a série diverge. - Se
, o teste é inconclusivo.
Explicação rápida do porquê: quandotende para um número menor que 1, os termos decaem geometricamente (como uma potência com ), dando convergência; se tende a algo maior que 1, os termos não caem rápido (ou crescem), levando à divergência.
- Se
Passo 3
Calculo a raiz n-ésima do termo geral. Denotando
temos
Portanto o valor que interessa ao teste da raiz é
Passo 4
Para avaliar
vamos analisar o comportamento de
quando
. É um limite clássico que mostra que o logaritmo cresce muito mais devagar que uma potência linear. Considere a função real para
:
Queremos
. Aplicamos a regra de L’Hôpital (condições: numerador e denominador tendem a infinito ou zero; aqui numerador
e denominador
, então podemos aplicar):
- Derivada do numerador:
. - Derivada do denominador:
.
Pela regra de L’Hôpital,
Portanto
Passo 5
Usando o resultado do passo anterior, reescrevo
Como
quando
, segue que
Logo
Passo 6
Aplicando o teste da raiz com
, concluímos que a série diverge. (Intuição: a raiz n-ésima do termo tende para infinito, então os termos não só não vão a zero, como crescem muito — condição necessária para convergência de uma série é que os termos tendam a zero.)
Resposta
A série diverge.