Escreva o par ( 3,2 ) como combinação linear dos pares (1,1) e (1, -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente escrever o par ordenado (3, 2) como uma combinação linear dos pares (1, 1) e (1, –1). Isso significa que queremos encontrar dois números, que vou chamar de a e b, tais que:
a cdot (1, 1) + b cdot (1, -1) = (3, 2)
Vamos usar conceitos de álgebra linear para achar esses valores.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa combinar linearmente esses pares. Multiplicamos cada par pelo escalar correspondente e somamos os resultados:
a cdot (1, 1) = (a cdot 1, a cdot 1) = (a, a)
b cdot (1, -1) = (b cdot 1, b cdot (-1)) = (b, -b)
Então, somando os dois:
(a, a) + (b, -b) = (a + b, a - b)
Queremos que isso seja igual a (3, 2), então temos:
(a + b, a - b) = (3, 2)

Passo 3

Agora, isso gera um sistema de duas equações com duas incógnitas:
a + b = 3 a - b = 2
Vamos resolver esse sistema para encontrar a e b.

Passo 4

Uma maneira simples de resolver é somar as duas equações para eliminar b:
(a + b) + (a - b) = 3 + 2 2a = 5 a = 52
Agora que temos a, podemos encontrar b substituindo na primeira equação:
52 + b = 3 b = 3 - 52 b = 62 - 52 b = 12

Resposta

Então, o par (3, 2) pode ser escrito como combinação linear de (1, 1) e (1, –1) da seguinte forma:
(3, 2) = 52 cdot (1, 1) + 12 cdot (1, -1)

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