Escreva o polinômio na forma de Newton (diferenças divididas) que interpola os seguintes dados:
X Y
-1 4
0 1
2 -1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Newton usando diferenças divididas que passa pelos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar entender como calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
X Y
-1 4
0 1
2 -1
Vamos montar uma tabela para facilitar o cálculo das diferenças divididas.

Passo 3

Na tabela de diferenças divididas, a primeira coluna são os valores de , a segunda coluna são os valores de , e as próximas colunas serão as diferenças divididas de ordem superior.
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1  | 4   |                     |                              |
| 0   | 1   |                     |                              |
| 2   | -1  |                     |                              |

Passo 4

Vamos calcular a primeira diferença dividida, que é basicamente a taxa de variação entre dois pontos consecutivos:
Para os primeiros dois pontos (-1 e 0):
Para os próximos dois pontos (0 e 2):
Atualizando a tabela:
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1  | 4   | -3                  |                              |
| 0   | 1   | -1                  |                              |
| 2   | -1  |                     |                              |

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda diferença dividida, que envolve três pontos:
Usando os valores que já calculamos:
Atualizando a tabela:
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1  | 4   | -3                  | 2/3                          |
| 0   | 1   | -1                  |                              |
| 2   | -1  |                     |                              |

Passo 6

Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
P(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1)
Substituindo os valores:
P(x) = 4 + (-3)(x - (-1)) + 23(x - (-1))(x - 0)
Simplificando:
P(x) = 4 - 3(x + 1) + 23(x + 1)x

Resposta

O polinômio de Newton que interpola os dados fornecidos é:
P(x) = 4 - 3(x + 1) + 23(x + 1)x

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