Escreva o polinômio na forma de Newton (diferenças divididas) que interpola os seguintes dados:
|
|
---|---|
-1 | 4 |
0 | 1 |
2 | -1 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de Newton usando diferenças divididas que passa pelos pontos dados na tabela. Para isso, vamos precisar entender como calcular as diferenças divididas e montar o polinômio passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
|
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---|---|
-1 | 4 |
0 | 1 |
2 | -1 |
Vamos montar uma tabela para facilitar o cálculo das diferenças divididas.
Passo 3
Na tabela de diferenças divididas, a primeira coluna são os valores de
, a segunda coluna são os valores de
, e as próximas colunas serão as diferenças divididas de ordem superior.
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1 | 4 | | |
| 0 | 1 | | |
| 2 | -1 | | |
Passo 4
Vamos calcular a primeira diferença dividida, que é basicamente a taxa de variação entre dois pontos consecutivos:
Para os primeiros dois pontos (-1 e 0):
Para os próximos dois pontos (0 e 2):
Atualizando a tabela:
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1 | 4 | -3 | |
| 0 | 1 | -1 | |
| 2 | -1 | | |
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda diferença dividida, que envolve três pontos:
Usando os valores que já calculamos:
Atualizando a tabela:
| \(X\) | \(Y\) | \(f[x_i, x_{i+1}]\) | \(f[x_i, x_{i+1}, x_{i+2}]\) |
|-----|-----|---------------------|------------------------------|
| -1 | 4 | -3 | 2/3 |
| 0 | 1 | -1 | |
| 2 | -1 | | |
Passo 6
Com as diferenças divididas calculadas, podemos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Resposta
O polinômio de Newton que interpola os dados fornecidos é: