Calcule os limites abaixo:
lim x 1 raiz3+x-2x^2-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite:
lim x 1 raiz3+x-2x^2-1
Esse exercício está relacionado ao cálculo de limites, uma parte fundamental do cálculo que nos ajuda a entender o comportamento de funções próximas a certos pontos. Para resolver, vamos precisar usar o processo de racionalização, que nos ajuda a simplificar expressões que envolvem raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 1 diretamente na expressão:
raiz3+1-21^2-1 = raiz4-21-1 = 2-20 = 00
Como obtemos a forma indeterminada 00 , precisamos simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 3

Para resolver essa forma indeterminada, vamos racionalizar o numerador. Racionalizar significa eliminar a raiz quadrada do numerador multiplicando e dividindo pela expressão conjugada. A conjugada de raiz3+x - 2 é raiz3+x + 2 .
Multiplicamos a fração original por raiz3+x + 2raiz3+x + 2 :
raiz3+x-2x^2-1 times raiz3+x+2raiz3+x+2 = (raiz3+x-2)(raiz3+x+2)(x^2-1)(raiz3+x+2)

Passo 4

Agora, vamos simplificar o numerador usando a identidade (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 :
(raiz3+x)^2 - 2^2 = (3 + x) - 4 = x - 1
Então, a expressão fica:
x-1(x^2-1)(raiz3+x+2)

Passo 5

Note que x^2 - 1 pode ser fatorado como (x - 1)(x + 1) :
x-1(x - 1)(x + 1)(raiz3+x+2)
Agora, podemos cancelar x - 1 no numerador e denominador:
1(x + 1)(raiz3+x+2)

Passo 6

Agora que simplificamos a expressão, podemos calcular o limite substituindo x = 1 :
1(1 + 1)(raiz3+1+2) = 12 times (2 + 2) = 12 times 4 = 18

Resposta

O limite é 18 .

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