Escreva o polinômio p=t^2+4 t-3, se possível, como uma combinação linear dos polinómios p1=t^2-2 t+5, p2=2 t^2-3 t e p3=t+1. (Apresente todos os cálculos, principalmente a combinação e a construção do sistema de equações lineares. Omissões implicarão em desconto da pontuação da questão. 1,0 pto).

Passo 1

O enunciado pede para escrever o polinômio
p(t)=t^2+4t-3
como combinação linear dos polinômios
p1(t)=t^2-2t+5, p2(t)=2t^2-3t, p3(t)=t+1
O conteúdo aqui é a ideia de combinação linear em espaço de polinômios, que reduz a um sistema linear de coeficientes.

Passo 2

Suponha que existam escalares a,b,c tais que
p(t)=a,p1(t)+b,p2(t)+c,p3(t)
Substituindo p1,p2,p3:
a(t^2-2t+5)+b(2t^2-3t)+c(t+1)
Agrupando em potências de t, obtemos
(a+2b),t^2+(-2a-3b+c),t+(5a+c)

Passo 3

Igualando esse resultado a t^2+4t-3, comparamos coeficientes para montar o sistema:
a+2b = 1, -2a-3b+c = 4, 5a + c = -3

Passo 4

Resolvendo passo a passo:
  1. Da primeira equação a+2b=1 vem
a = 1 - 2b
  1. Da terceira 5a+c=-3 vem
c = -3 -5a
  1. Substituindo a e c na segunda:
-2a-3b+(-3-5a)=4 ;Longrightarrow;-7a-3b=7
  1. Reescrevendo a=1-2b nessa igualdade:
-7(1-2b)-3b=7 ;Longrightarrow;-7+14b-3b=7 ;Longrightarrow;11b=14 ;Longrightarrow;b=1411
  1. Então
a=1-21411=-1711, c=-3-5l(-1711r)=5211

Passo 5

Portanto, a combinação linear procurada é
p(t) =-1711,p1(t) +1411,p2(t) +5211,p3(t)

Resposta

p = -1711,p1 + 1411,p2 + 5211,p3

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