2 Dadas as equações das parábolas:
2.1)
2.2)
,
Determine para cada uma delas os seguintes itens:
a) as coordenadas do vértice e do foco;
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
c) o comprimento do latus rectum.
2.1)
2.2)
a) as coordenadas do vértice e do foco;
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
c) o comprimento do latus rectum.
Passo 1
O enunciado dá duas curvas do segundo grau e pede, para cada uma, as coordenadas do vértice e do foco, as equações da diretriz e do eixo focal, e o comprimento do latus rectum. O conteúdo usado será: completar quadrado para obter a forma canônica
, e rotação de eixos para reduzir uma forma mista
a uma parábola padrão.
Passo 2
Para a equação
organizamos em
:
Isto é da forma
com
e
. Logo:
- Vértice:
. - Foco:
. - Diretriz:
. - Eixo focal:
. - Comprimento do latus rectum:
.
Passo 3
Para
repare que
. Fazemos rotação de
:
Então
e
, e a equação vira
Escrevendo
obtém-se
e vértice em
. Assim:
- No sistema
: vértice , foco , diretriz , eixo , latus rectum em com meia largura . - Voltando a
:
Vértice: solução de é .
Foco: dá e , .
Diretriz: vira .
Eixo focal: é a reta (ou ).
Latus rectum: em , os extremos têm , e o comprimento total é
Resposta
b) Diretriz
c) Latus rectum
b) Diretriz
c) Latus rectum