2 Dadas as equações das parábolas:
2.1) 4 y^2-48 x-20 y-71=0
2.2) y^2-2 x y+x^2+16 x+16 y=0,
Determine para cada uma delas os seguintes itens:
a) as coordenadas do vértice e do foco;
b) as equações da diretriz e do eixo focal;
c) o comprimento do latus rectum.

Passo 1

O enunciado dá duas curvas do segundo grau e pede, para cada uma, as coordenadas do vértice e do foco, as equações da diretriz e do eixo focal, e o comprimento do latus rectum. O conteúdo usado será: completar quadrado para obter a forma canônica (y-k)^2=4p(x-h), e rotação de eixos para reduzir uma forma mista (x-y)^2 a uma parábola padrão.

Passo 2

Para a equação
4y^2 -48x -20y -71 = 0
organizamos em y:
4l(y^2 -5yr)-48x -71=0
4l[(y-tfrac52)^2 -tfrac254r]-48x -71=0
4(y-tfrac52)^2 -25 -48x -71=0
4(y-tfrac52)^2 =48x +96
(y-tfrac52)^2 =12,(x+2)
Isto é da forma (y-k)^2=4p(x-h) com (h,k)=(-2,tfrac52) e 4p=12Rightarrow p=3. Logo:
  • Vértice: l(h,kr)=l(-2,tfrac52r).
  • Foco: l(h+p,;kr)=l(1,tfrac52r).
  • Diretriz: x=h-p=-2-3=-5.
  • Eixo focal: y=k=tfrac52.
  • Comprimento do latus rectum: lvert4prvert=12.

Passo 3

Para
y^2 - 2xy + x^2 + 16x + 16y = 0
repare que x^2 - 2xy + y^2 = (x - y)^2. Fazemos rotação de 45^circ:
u = x - yraiz2, v = x + yraiz2
Então (x - y)^2 = 2u^2 e x + y = raiz2 , v, e a equação vira
2u^2 + 16l(raiz2 , vr) = 0 ;Longrightarrow; u^2 = -8raiz2 , v
Escrevendo u^2 = -2p , v obtém-se 2p = 8raiz2 Rightarrow p = 4raiz2 e vértice em (u,v) = (0,0). Assim:
  • No sistema (u,v): vértice (0,0), foco (0,-p) = (0,-4raiz2), diretriz v = +p = 4raiz2, eixo u = 0, latus rectum em v = -4raiz2 com meia largura raiz2 , p.
  • Voltando a (x,y):
    bul<=t Vértice: solução de u = 0,; v = 0 é (x,y) = (0,0).
    bul<=t Foco: u = 0,; v = -4raiz2 x + y = raiz2 , v = -8 e x = y, Rightarrow , (x,y) = (-4,-4).
    bul<=t Diretriz: v = 4raiz2 vira x + y = raiz2 , (4raiz2) = 8.
    bul<=t Eixo focal: u = 0 é a reta x - y = 0 (ou y = x).
    bul<=t Latus rectum: em v = -4raiz2, os extremos têm u = pm praiz2 = pm 8, e o comprimento total é
2raiz(8raiz2)^2 + (-8raiz2)^2 = 2raiz128 + 128 = 16

Resposta

2.1 a) V l(-2,tfrac52r), F l(1,tfrac52r).
b) Diretriz x=-5; eixo focal y=tfrac52.
c) Latus rectum =12.
2.2 a) V (0,0), F (-4,-4).
b) Diretriz x+y=8; eixo focal y=x.
c) Latus rectum =16.

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