Quais das transformações abaixo são lineares?
)

Passo 1

O enunciado define a transformação
Tcolon M2times2(R) to R^3, Tl(Ar)=l(A11-A12,,A21+A22,,2A11-A21r)
O conteúdo é teoria de transformações lineares em espaços vetoriais. Para mostrar que T é linear, precisamos verificar duas propriedades: aditividade
T(A+B)=T(A)+T(B)
e homogeneidade
T(lambda A)=lambda,T(A)

Passo 2

Verificação da aditividade. Seja
Então
e
Reagrupando termos,

Passo 3

Verificação da homogeneidade. Para escalar lambdainR,
lambda A=lambda a & lambda b lambda c & lambda d,
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T(lambda A) =l(lambda a-lambda b,;lambda c+lambda d,;2lambda a-lambda cr) =lambda,(a-b,,c+d,,2a-c) =lambda,T(A)

Passo 4

Como tanto a aditividade quanto a homogeneidade são satisfeitas, concluímos que T é linear.

Resposta

A transformação T é linear.

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