5 Determine o comprimento da corda focal da parábola x^2+8 y=0 que é paralela à reta r: 3 x+4 y-7=0.

Passo 1

O enunciado pede o comprimento da corda focal da parábola
x^2+8y=0
que seja paralela à reta
3x+4y-7=0
Aqui usamos conceitos de parábola em forma padrão, foco, equação de reta paralela e fórmula da distância entre dois pontos.

Passo 2

A reta r tem coeficiente angular dado por
4y=-3x+7Longrightarrow y=-tfrac34x+tfrac74,
logo qualquer reta paralela a r tem a forma
y=-tfrac34x+k,
onde k é uma constante a determinar.

Passo 3

Para ser corda focal, a reta deve passar pelo foco da parábola. Escrevendo a parábola como
x^2=-8y,
vemos que 4p=-8, ou seja p=-2, e o foco é
F=(0,p)=(0,-2)
Impondo que (0,-2) satisfaça y=-tfrac34x+k obtemos
-2=-tfrac34cdot0+k Longrightarrow k=-2
Portanto a corda focal paralela a r tem equação
y=-tfrac34x-2

Passo 4

Para achar os extremos da corda, resolvemos o sistema com a parábola:
x^2+8y=0, y=-tfrac34x-2
Substituindo y na primeira,
x^2+8l(-tfrac34x-2r)=0 Longrightarrow x^2-6x-16=0
As raízes são
x=6pmraiz36+642=6pm102,
isto é x1=8 e x2=-2.
Os correspondentes y são
y1=-tfrac34cdot8-2=-6-2=-8, y2=-tfrac34cdot(-2)-2=tfrac32-2=-tfrac12
Logo os pontos são A=(8,-8) e B=(-2,-tfrac12).

Passo 5

O comprimento da corda é a distância AB:
AB=raiz(8-(-2))^2+(-8-(-tfrac12))^2 =raiz10^2+l(-tfrac152r)^2 =raiz100+tfrac2254 =raiztfrac400+2254 =raiztfrac6254 =tfrac252

Resposta

252

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