(a) Escreva os polinômios de Taylor de ordem 3 da função f(x)=ln x, em torno de a=1 e a=2.

Passo 1

Neste exercício, vamos encontrar os polinômios de Taylor de ordem 3 da função f(x)=ln x ao redor de a=1 e a=2. Precisaremos usar a definição do polinômio de Taylor de ordem n em torno de a:
Tn(x)=sumk=0^nf^(k)(a)k!(x-a)^k

Passo 2

Começamos calculando as derivadas até terceira ordem de f(x). Derivando: f'(x)=1x, f''(x)=-1x^2 e f'''(x)=2x^3.

Passo 3

Para a=1, avaliamos as derivadas em x=1: f(1)=0, f'(1)=1, f''(1)=-1 e f'''(1)=2. Substituindo na fórmula de Taylor:
T3,1(x)=f(1)+f'(1)(x-1)+f''(1)2!(x-1)^2+f'''(1)3!(x-1)^3
Passando aos valores e simplificando:
T3,1(x)=(x-1)-12(x-1)^2+13(x-1)^3

Passo 4

Para a=2, avaliamos as derivadas em x=2: f(2)=ln2, f'(2)=tfrac12, f''(2)=-tfrac14 e f'''(2)=tfrac14. Substituindo na fórmula:
T3,2(x)=f(2)+f'(2)(x-2)+f''(2)2!(x-2)^2+f'''(2)3!(x-2)^3
Passando aos valores e simplificando:
T3,2(x)=ln2+12(x-2)-18(x-2)^2+124(x-2)^3

Resposta

T3,1(x)=(x-1)-12(x-1)^2+13(x-1)^3
T3,2(x)=ln2+12(x-2)-18(x-2)^2+124(x-2)^3

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