Quais pontos sobre a superfície de equação
4 x^2-10 x y+4 y^2=36
estão a uma menor distância da origem? Quanto vale tal distância? Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da superfície 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 36 e queremos descobrir quais pontos dessa superfície estão mais próximos da origem (0,0). Além disso, precisamos saber qual é essa menor distância. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os pontos mínimos ou máximos de uma função, considerando uma condição que ela deve satisfazer.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de qualquer ponto (x, y) até a origem é dada pela fórmula da distância:
D = raizx^2 + y^2
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar D^2, que é:
D^2 = x^2 + y^2
Então, nosso objetivo é minimizar x^2 + y^2 sujeitando à condição 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 36.

Passo 3

Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto mínimo, o gradiente da função que queremos minimizar ( x^2 + y^2) seja proporcional ao gradiente da restrição ( 4x^2 - 10xy + 4y^2 - 36 = 0). Formalmente, temos:
nabla (x^2 + y^2) = lambda nabla (4x^2 - 10xy + 4y^2 - 36)
Calculando os gradientes:
nabla (x^2 + y^2) = (2x, 2y)
nabla (4x^2 - 10xy + 4y^2 - 36) = (8x - 10y, -10x + 8y)
Então, igualando os gradientes:
2x = lambda (8x - 10y)
2y = lambda (-10x + 8y)

Passo 4

Agora, temos um sistema de equações:
  1. 2x = lambda (8x - 10y)
  2. 2y = lambda (-10x + 8y)
  3. 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 36
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 1, isolamos lambda:
lambda = 2x8x - 10y
Da equação 2:
lambda = 2y-10x + 8y
Como os dois expressam lambda, podemos igualá-los:
2x8x - 10y = 2y-10x + 8y
Simplificando, podemos multiplicar ambos os lados por (8x - 10y)(-10x + 8y):
2x(-10x + 8y) = 2y(8x - 10y)
Expandindo:
-20x^2 + 16xy = 16xy - 20y^2
Simplificando os termos semelhantes:
-20x^2 = -20y^2
Dividindo ambos os lados por -20:
x^2 = y^2

Passo 5

Da equação x^2 = y^2, temos duas possibilidades:
  1. x = y
  2. x = -y
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1: x = y
Substituímos y por x na restrição 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 36:
4x^2 - 10x^2 + 4x^2 = 36
(4 - 10 + 4)x^2 = 36
-2x^2 = 36
x^2 = -18
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.
Caso 2: x = -y
Substituímos y por -x na restrição:
4x^2 - 10x(-x) + 4(-x)^2 = 36
4x^2 + 10x^2 + 4x^2 = 36
(4 + 10 + 4)x^2 = 36
18x^2 = 36
x^2 = 2
x = raiz2 ou x = -raiz2
Então, os pontos são:
(raiz2, -raiz2) e (-raiz2, raiz2)

Resposta

Os pontos na superfície 4x^2 - 10xy + 4y^2 = 36 que estão mais próximos da origem são (raiz2, -raiz2) e (- raiz2, raiz2). A menor distância da origem a esses pontos é 2.

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