Quais pontos sobre a superfície de equação
estão a uma menor distância da origem? Quanto vale tal distância? Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a equação da superfície
e queremos descobrir quais pontos dessa superfície estão mais próximos da origem (0,0). Além disso, precisamos saber qual é essa menor distância. Para isso, vamos precisar usar conceitos de otimização com restrições, especificamente o método dos multiplicadores de Lagrange. Esse método ajuda a encontrar os pontos mínimos ou máximos de uma função, considerando uma condição que ela deve satisfazer.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que queremos minimizar. A distância de qualquer ponto
até a origem é dada pela fórmula da distância:
Mas para facilitar os cálculos, vamos minimizar
, que é:
Então, nosso objetivo é minimizar
sujeitando à condição
.
Passo 3
Agora, aplicamos o método dos multiplicadores de Lagrange. A ideia é que, no ponto mínimo, o gradiente da função que queremos minimizar (
) seja proporcional ao gradiente da restrição (
). Formalmente, temos:
Calculando os gradientes:
Então, igualando os gradientes:
Passo 4
Agora, temos um sistema de equações:
Vamos resolver esse sistema. Primeiro, da equação 1, isolamos
:
Da equação 2:
Como os dois expressam
, podemos igualá-los:
Simplificando, podemos multiplicar ambos os lados por
:
Expandindo:
Simplificando os termos semelhantes:
Dividindo ambos os lados por -20:
Passo 5
Da equação
, temos duas possibilidades:
Vamos analisar cada caso separadamente.
Caso 1:
Substituímos
por
na restrição
:
Isso não tem solução real, então descartamos esse caso.
Caso 2:
Substituímos
por
na restrição:
Então, os pontos são:
Resposta
Os pontos na superfície
que estão mais próximos da origem são
e
. A menor distância da origem a esses pontos é
.