Escreva os polinômios de Taylor de ordem
e 3 da função
, em torno de
e
. Qual é o resto de Taylor de ordem 3, nos dois casos
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular os polinômios de Taylor de ordem 0, 1, 2 e 3 da função
em torno de dois pontos:
e
. Além disso, devemos obter o resto de Taylor de ordem 3 (forma de Lagrange) em cada caso.
Passo 2
Para usar a expansão de Taylor, precisamos das derivadas de
até a ordem 4, pois o resto de ordem 3 envolve
. Calculamos:
Passo 3
Em torno de
, as derivadas avaliadas em 0 são:
Passo 4
Logo os polinômios de Taylor em torno de 0 são:
Passo 5
Como
, o resto de ordem 3 é identicamente zero:
Passo 6
Em torno de
, avaliamos as derivadas em 2:
Passo 7
Os polinômios de Taylor em torno de 2 são:
Passo 8
Mais uma vez, como
, o resto de ordem 3 em torno de 2 também é zero:
Resposta
Em torno de a=0:
P_0(x)=3,
P_1(x)=3,
P_2(x)=3-2x^2,
P_3(x)=3-2x2+x3,
R_3(x)=0.
P_0(x)=3,
P_1(x)=3,
P_2(x)=3-2x^2,
P_3(x)=3-2x2+x3,
R_3(x)=0.
Em torno de a=2:
P_0(x)=3,
P_1(x)=3+4(x-2),
P_2(x)=3+4(x-2)+4(x-2)^2,
P_3(x)=3+4(x-2)+4(x-2)2+(x-2)3,
R_3(x)=0.
P_0(x)=3,
P_1(x)=3+4(x-2),
P_2(x)=3+4(x-2)+4(x-2)^2,
P_3(x)=3+4(x-2)+4(x-2)2+(x-2)3,
R_3(x)=0.