Escreva os polinômios de Taylor de ordem 0,1,2 e 3 da função g(x)=x^3-2 x^2+3, em torno de a=0 e a=2. Qual é o resto de Taylor de ordem 3, nos dois casos [g(x)=P3(x)+R3(x)].

Passo 1

O enunciado pede para calcular os polinômios de Taylor de ordem 0, 1, 2 e 3 da função g(x)=x^3-2x^2+3 em torno de dois pontos: a=0 e a=2. Além disso, devemos obter o resto de Taylor de ordem 3 (forma de Lagrange) em cada caso.

Passo 2

Para usar a expansão de Taylor, precisamos das derivadas de g até a ordem 4, pois o resto de ordem 3 envolve g^(4)(xi). Calculamos:
g(x)=x^3-2x^2+3,
g'(x)=3x^2-4x,
g''(x)=6x-4,
g^(3)(x)=6,
g^(4)(x)=0

Passo 3

Em torno de a=0, as derivadas avaliadas em 0 são:
g(0)=3,
g'(0)=0,
g''(0)=-4,
g^(3)(0)=6

Passo 4

Logo os polinômios de Taylor em torno de 0 são:
P0(x)=g(0)=3,
P1(x)=3 + 0,(x-0)=3,
P2(x)=3 + -42!x^2=3-2x^2,
P3(x)=3-2x^2+63!x^3=3-2x^2+x^3

Passo 5

Como g^(4)(x)=0, o resto de ordem 3 é identicamente zero:
R3(x)=g^(4)(xi)4!x^4=0

Passo 6

Em torno de a=2, avaliamos as derivadas em 2:
g(2)=8-8+3=3,
g'(2)=3cdot4-8=4,
g''(2)=6cdot2-4=8,
g^(3)(2)=6

Passo 7

Os polinômios de Taylor em torno de 2 são:
P0(x)=3,
P1(x)=3 + 4(x-2),
P2(x)=3+4(x-2)+82!(x-2)^2=3+4(x-2)+4(x-2)^2,
P3(x)=3+4(x-2)+4(x-2)^2+63!(x-2)^3=3+4(x-2)+4(x-2)^2+(x-2)^3

Passo 8

Mais uma vez, como g^(4)(x)=0, o resto de ordem 3 em torno de 2 também é zero:
R3(x)=g^(4)(xi)4!(x-2)^4=0

Resposta

Em torno de a=0:
P_0(x)=3,
P_1(x)=3,
P_2(x)=3-2x^2,
P_3(x)=3-2x2+x3,
R_3(x)=0.
Em torno de a=2:
P_0(x)=3,
P_1(x)=3+4(x-2),
P_2(x)=3+4(x-2)+4(x-2)^2,
P_3(x)=3+4(x-2)+4(x-2)2+(x-2)3,
R_3(x)=0.

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