integral d x(x^2+a^2)^n=x2 a^2(n-1)(x^2+a^2)^n-1+2 n-32 a^2(n-1) integral d x(x^2+a^2)^n-1

Passo 1

A questão pede para demonstrar a fórmula de redução para a integral integral dx(x^2+a^2)^n. O conteúdo é integração por partes e manipulação algébrica para relacionar In com In-1.

Passo 2

Vamos definir In= integral dx(x^2+a^2)^n e usar uma técnica mista de diferenciação de uma função conveniente e depois integrar essa derivada.

Passo 3

Observe a função f(x)=dfracx(x^2+a^2)^n-1. Vamos calcular sua derivada:
ddxl(x(x^2+a^2)^n-1r) =(x^2+a^2)^n-1-xcdot (n-1),2x,(x^2+a^2)^n-2(x^2+a^2)^2(n-1) =a^2-(2n-3)x^2(x^2+a^2)^n

Passo 4

Reescrevendo essa igualdade em forma de integrais, temos
a^2integraldx(x^2+a^2)^n-(2n-3)integralx^2,dx(x^2+a^2)^n =integral dl(x(x^2+a^2)^n-1r) =x(x^2+a^2)^n-1

Passo 5

Mas integral x^2,dx(x^2+a^2)^n=integral(x^2+a^2)-a^2(x^2+a^2)^ndx=In-1-a^2In Substituindo:
a^2In-(2n-3)(In-1-a^2In)=x(x^2+a^2)^n-1

Passo 6

Expandindo e isolando In:
[a^2+(2n-3)a^2]In-(2n-3)In-1=x(x^2+a^2)^n-1
2a^2(n-1)In=(2n-2),a^2In=(2n-3)In-1+x(x^2+a^2)^n-1

Passo 7

Logo, obtemos a fórmula de redução desejada.

Resposta

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