Escreva, se possível, o vetor \vec{v}=(1,3,6) como combinação linear dos vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{w}=(3,2,0) e \vec{i}=(-1,1,2)

Passo 1

O problema pede para escrever o vetor \vec{v}=(1,3,6) como combinação linear dos vetores \vec{u}=(1,0,0), \vec{w}=(3,2,0) e \vec{i}=(-1,1,2). As informações dadas são os três vetores \vec{u},\vec{w},\vec{i} e o vetor alvo \vec{v}.
Não se resolve nada neste passo, só identifiquei o que o enunciado fornece e o que ele pede.

Passo 2

Explicar o que significa “escrever como combinação linear”: queremos encontrar escalares \alpha,\beta,\gamma tais que
\alpha\,\vec{u}+\beta\,\vec{w}+\gamma\,\vec{i}=\vec{v}.
Aqui \alpha,\beta,\gamma são números reais (os coeficientes da combinação). Escrever isso componente a componente significa que as três componentes do vetor à esquerda devem ser iguais às do vetor \vec{v}.

Passo 3

Escrever a igualdade componente a componente. Como
\vec{u}=(1,0,0),\qquad \vec{w}=(3,2,0),\qquad \vec{i}=(-1,1,2),
temos
\alpha(1,0,0)+\beta(3,2,0)+\gamma(-1,1,2)=(1,3,6).
Isto gera o sistema de equações (uma equação para cada componente):
\begin{cases} \alpha + 3\beta - \gamma = 1,\\[6pt] 0\alpha + 2\beta + \gamma = 3,\\[6pt] 0\alpha + 0\beta + 2\gamma = 6. \end{cases}]

Passo 4

Resolver a equação da terceira componente. A terceira equação é
2\gamma = 6.
Dividindo ambos os lados por 2 obtemos
\gamma = 3.
Este passo é direto: quando uma equação envolve só uma incógnita, resolvemos isolando-a.

Passo 5

Usar o valor de \gamma na segunda equação para encontrar \beta. A segunda equação é
2\beta + \gamma = 3.
Substituindo \gamma=3 temos
2\beta + 3 = 3.
Subtraindo 3 dos dois lados:
2\beta = 0.
Dividindo por 2:
\beta = 0.

Passo 6

Usar \beta=0 e \gamma=3 na primeira equação para encontrar \alpha. A primeira equação é
\alpha + 3\beta - \gamma = 1.
Substituindo \beta=0 e \gamma=3 obtemos
\alpha + 3\cdot 0 - 3 = 1,
ou seja
\alpha - 3 = 1.
Somando 3 aos dois lados:
\alpha = 4.

Passo 7

Concluir a combinação e conferir fazendo a soma dos vetores com os coeficientes encontrados. Temos
\alpha=4,\qquad \beta=0,\qquad \gamma=3,
logo a combinação é
4\vec{u}+0\vec{w}+3\vec{i}.
Fazendo a soma componente a componente para conferir:
4\vec{u}=(4,0,0),\qquad 0\vec{w}=(0,0,0),\qquad 3\vec{i}=3(-1,1,2)=(-3,3,6).
Somando:
(4,0,0)+(0,0,0)+(-3,3,6)=(4-3,\,0+3,\,0+6)=(1,3,6),
que é exatamente \vec{v}. Tudo confere — missão cumprida! Você conseguiu: parecia muito, mas as equações são bem diretas.

Resposta

\vec{v}=4\vec{u}+0\vec{w}+3\vec{i}

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