Questão 3 - Luz azul de comprimento de onda
passa através de uma única fenda de largura
e forma um padrão de difração em uma tela. Se a luz azul for substituída por luz vermelha de comprimento de onda
, o padrão de difração original será reproduzido se a largura da fenda for alterada para:
a)
b)
c)
d)
a)
b)
c)
d)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta uma coisa só. Informações: a luz azul tem comprimento de onda
e passa por uma única fenda de largura
, formando um padrão de difração numa tela. Em seguida a luz azul é substituída por luz vermelha de comprimento de onda
. Pergunta: para que o padrão de difração original seja reproduzido (isto é, as mesmas posições angulares das franjas), qual deve ser a nova largura da fenda? As alternativas são: a)
, b)
, c)
, d)
.
Passo 2
Conceito e fórmula essencial que vamos usar (explicação didática). Num experimento de difração de Fraunhofer por uma única fenda, as regiões de mínima intensidade (os mínimos do padrão) aparecem quando ondas vindas de diferentes pontos da fenda interferem destrutivamente. A condição matemática para os mínimos é
onde:
-
é a largura da fenda (distância física da abertura), -
é o ângulo medido a partir do eixo central até a posição do mínimo na tela, -
é o comprimento de onda da luz, -
é um inteiro não nulo ( ) que indexa os mínimos (o primeiro mínimo corresponde a , o segundo a , etc.).
Explicando em palavras: para cada
existe uma direção
tal que a diferença de caminho entre extremos da fenda corresponde a
comprimentos de onda, produzindo cancelamento. Essa fórmula dá as posições angulares dos mínimos; reproduzir o padrão significa ter as mesmas
para cada
.
Passo 3
Escrevendo a condição dos mínimos para o caso original (luz azul, comprimento
e fenda de largura
). Para um dado
temos
Daqui podemos isolar a posição angular do
-ésimo mínimo:
Isso vale para todos os inteiros
(exceto 0, que é o máximo central).
Passo 4
Agora escrevemos a condição dos mínimos para o caso novo (luz vermelha com comprimento
e fenda de largura desconhecida
). Para o mesmo índice
vale
Isolando,
Passo 5
Requisito para reproduzir exatamente o padrão: as posições angulares dos mínimos devem coincidir para todos os
. Ou seja, para cada
precisamos ter
, o que implica
Substituindo as expressões dos passos anteriores:
Podemos simplificar cancelando
(não é zero) e
dos dois lados:
Invertendo ambos os lados ou resolvendo para
:
Passo 6
Interpretação física e uma verificação rápida usando aproximação para pequenos ângulos. Para pequenos
a primeira largura angular do máximo central é aproximadamente
. Se a onda tem comprimento duplicado (
), a largura angular dobraria; para manter a mesma
devemos dobrar
. Isso confirma o resultado calculado algebricamente:
.
Passo 7
Conclusão e escolha da alternativa. A largura da fenda precisa ser multiplicada por 2 para compensar o dobro do comprimento de onda e assim reproduzir o mesmo padrão de difração.
Resposta: A alternativa correta é a c)
.
Resposta
c)