Verifique a dependência linear do conjunto de vetores
\{(1,3,5),(2,6,5)\}

Passo 1

O enunciado fornece o conjunto de dois vetores (1,3,5) e (2,6,5) e pede para verificar se esse conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente.\n
Informações dadas:
v_1 = (1,3,5),\qquad v_2 = (2,6,5).
O que se pede: decidir se existe uma combinação linear não trivial que zere os vetores (isto é, se existem escalares não todos nulos que façam \alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0)).

Passo 2

O que significa “linearmente dependente” e “linearmente independente” (explicação didática):\n
  • Dizemos que o conjunto \{v_1,v_2\} é linearmente dependente se existem escalares \alpha e \beta, não ambos nulos, tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0).
  • Se a única solução para essa equação é \alpha=\beta=0, então o conjunto é linearmente independente.\n
    Observação útil (caso especial para dois vetores): para dois vetores em \mathbb{R}^n, eles são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Vou usar essa observação como atalho intuitivo e depois fazer a verificação algébrica completa.

Passo 3

Verificação rápida por múltiplo escalar (intuição):\n
Se existir k tal que v_2 = k v_1, então os vetores seriam dependentes. Comparando componentes:
\frac{2}{1} = 2,\qquad \frac{6}{3} = 2,\qquad \frac{5}{5} = 1.
Como os quocientes das componentes não são todos iguais (os dois primeiros dão 2 e o último dá 1), não existe um único k que satisfaça v_2 = k v_1. Isso sugere que os vetores não são múltiplos um do outro e, portanto, provavelmente são linearmente independentes. Mas vamos fazer a verificação algébrica completa para ter certeza.

Passo 4

Verificação algébrica completa usando combinação linear:\n
Procuramos \alpha,\beta tais que
\alpha(1,3,5) + \beta(2,6,5) = (0,0,0).
Isto gera o sistema de equações em escalares:
\begin{cases} \alpha + 2\beta = 0,\\[4pt] 3\alpha + 6\beta = 0,\\[4pt] 5\alpha + 5\beta = 0. \end{cases}]

Passo 5

Resolver o sistema passo a passo: primeiro use a primeira equação para isolar \alpha:
\alpha + 2\beta = 0 \implies \alpha = -2\beta.
Substituindo \alpha = -2\beta na segunda equação:
3(-2\beta) + 6\beta = -6\beta + 6\beta = 0,
o que é uma identidade (não fornece informação nova), ou seja, a segunda equação é consequência da primeira. Agora substituímos na terceira equação:
5(-2\beta) + 5\beta = -10\beta + 5\beta = -5\beta.
Para que a terceira equação seja satisfeita precisamos de
-5\beta = 0 \implies \beta = 0.
Com \beta = 0 e \alpha = -2\beta obtemos
\alpha = -2\cdot 0 = 0.
Portanto a única solução do sistema é \alpha=\beta=0, ou seja, apenas a combinação linear trivial zera os vetores.

Passo 6

Conclusão e intuição final: como a única solução de \alpha v_1 + \beta v_2 = 0 é a trivial, os vetores não são múltiplos um do outro e não existe combinação linear não trivial que os anule. Logo o conjunto é linearmente independente. Força aí — isso significa que esses dois vetores fornecem duas direções “diferentes” em \mathbb{R}^3.

Resposta

Os vetores são linearmente independentes.

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