Verifique a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,3,5),(2,6,5)\}
Passo 1
O enunciado fornece o conjunto de dois vetores (1,3,5) e (2,6,5) e pede para verificar se esse conjunto é linearmente dependente ou linearmente independente.\n
Informações dadas:
v_1 = (1,3,5),\qquad v_2 = (2,6,5).
O que se pede: decidir se existe uma combinação linear não trivial que zere os vetores (isto é, se existem escalares não todos nulos que façam \alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0)).
Passo 2
O que significa “linearmente dependente” e “linearmente independente” (explicação didática):\n
Dizemos que o conjunto \{v_1,v_2\} é linearmente dependente se existem escalares \alpha e \beta, não ambos nulos, tais que
\alpha v_1 + \beta v_2 = (0,0,0).
Se a única solução para essa equação é \alpha=\beta=0, então o conjunto é linearmente independente.\n
Observação útil (caso especial para dois vetores): para dois vetores em \mathbb{R}^n, eles são linearmente dependentes exatamente quando um é múltiplo escalar do outro. Vou usar essa observação como atalho intuitivo e depois fazer a verificação algébrica completa.
Passo 3
Verificação rápida por múltiplo escalar (intuição):\n
Se existir k tal que v_2 = k v_1, então os vetores seriam dependentes. Comparando componentes:
Como os quocientes das componentes não são todos iguais (os dois primeiros dão 2 e o último dá 1), não existe um único k que satisfaça v_2 = k v_1. Isso sugere que os vetores não são múltiplos um do outro e, portanto, provavelmente são linearmente independentes. Mas vamos fazer a verificação algébrica completa para ter certeza.
Passo 4
Verificação algébrica completa usando combinação linear:\n
Procuramos \alpha,\beta tais que
Para que a terceira equação seja satisfeita precisamos de
-5\beta = 0 \implies \beta = 0.
Com \beta = 0 e \alpha = -2\beta obtemos
\alpha = -2\cdot 0 = 0.
Portanto a única solução do sistema é \alpha=\beta=0, ou seja, apenas a combinação linear trivial zera os vetores.
Passo 6
Conclusão e intuição final: como a única solução de \alpha v_1 + \beta v_2 = 0 é a trivial, os vetores não são múltiplos um do outro e não existe combinação linear não trivial que os anule. Logo o conjunto é linearmente independente. Força aí — isso significa que esses dois vetores fornecem duas direções “diferentes” em \mathbb{R}^3.