Verifique a dependência linear do conjunto de vetores
\{(1,-1,3),(2,1,5),(4,-1,11)\}

Passo 1

O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de vetores \{(1,-1,3),(2,1,5),(4,-1,11)\}.\n
Informações dadas:
v_1=(1,-1,3),\qquad v_2=(2,1,5),\qquad v_3=(4,-1,11).
O que precisamos responder: o conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente? Se for dependente, precisamos exibir uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.

Passo 2

Definição e estratégia (explicação didática):
\text{Um conjunto de vetores } \{v_1,v_2,v_3\}\text{ é linearmente dependente}é
se existem escalares a,b,c, nem todos iguais a zero, tais que
a v_1 + b v_2 + c v_3 = (0,0,0).
Se a única solução para essa equação for a=b=c=0, então os vetores são linearmente independentes. Vou procurar uma solução não trivial. Uma maneira prática é tentar escrever um dos vetores como combinação linear dos outros (por exemplo, tentar achar \alpha,\beta tais que v_3=\alpha v_1+\beta v_2). Se conseguir, isso já prova dependência.

Passo 3

Escrevendo a tentativa \;v_3=\alpha v_1+\beta v_2\; componente a componente:
\alpha(1)+\beta(2)=4,
\alpha(-1)+\beta(1)=-1,
\alpha(3)+\beta(5)=11.
Aqui \alpha e \beta são escalares desconhecidos que queremos determinar. Cada uma dessas equações corresponde às componentes x, y e z dos vetores.

Passo 4

Vamos resolver as duas primeiras equações (às vezes as primeiras duas já determinam \alpha e \beta e a terceira serve para verificar consistência). Das equações:
\alpha + 2\beta = 4 \quad\text{(1)}
-\alpha + \beta = -1 \quad\text{(2)}
Somando (1) e (2) elimina \alpha:
(\alpha -\alpha) + (2\beta+\beta) = 4 + (-1)
ou seja
3\beta = 3 \implies \beta = 1.

Passo 5

Com \beta=1, usamos (1) ou (2) para achar \alpha. Usando (1):
\alpha + 2\cdot 1 = 4 \implies \alpha + 2 = 4 \implies \alpha = 2.

Passo 6

Verificação com a terceira equação (importante sempre conferir):
3\alpha + 5\beta = 3\cdot 2 + 5\cdot 1 = 6 + 5 = 11,
que coincide com a componente z de v_3. Portanto a solução \alpha=2,\\ \beta=1 satisfaz todas as três componentes, então
v_3 = 2v_1 + 1v_2.

Passo 7

Conclusão e interpretação:
Se v_3 = 2v_1+v_2, então existe uma combinação linear não trivial entre os vetores. Reescrevendo:
2v_1 + 1v_2 - 1v_3 = (0,0,0).
Como os coeficientes (2,1,-1) não são todos zero, isso mostra que os vetores são linearmente dependentes. (Como alternativa, isso também corresponde ao fato de que a matriz formada pelos vetores como colunas tem determinante zero — cálculo rápido mostraria \det=0, consistindo com dependência linear.)

Resposta

O conjunto é linearmente dependente; relação explícita: 2(1,-1,3)+1(2,1,5)-1(4,-1,11)=(0,0,0).

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