Verifique a dependência linear do conjunto de vetores
Passo 1
O enunciado pede para verificar a dependência linear do conjunto de vetores
.\n
Informações dadas:
Informações dadas:
O que precisamos responder: o conjunto é linearmente independente ou linearmente dependente? Se for dependente, precisamos exibir uma combinação linear não trivial que dá o vetor nulo.
Passo 2
Definição e estratégia (explicação didática):
se existem escalares
, nem todos iguais a zero, tais que
Se a única solução para essa equação for
, então os vetores são linearmente independentes. Vou procurar uma solução não trivial. Uma maneira prática é tentar escrever um dos vetores como combinação linear dos outros (por exemplo, tentar achar
tais que
). Se conseguir, isso já prova dependência.
Passo 3
Escrevendo a tentativa
componente a componente:
Aqui
e
são escalares desconhecidos que queremos determinar. Cada uma dessas equações corresponde às componentes
,
e
dos vetores.
Passo 4
Vamos resolver as duas primeiras equações (às vezes as primeiras duas já determinam
e
e a terceira serve para verificar consistência). Das equações:
Somando (1) e (2) elimina
:
ou seja
Passo 5
Com
, usamos (1) ou (2) para achar
. Usando (1):
Passo 6
Verificação com a terceira equação (importante sempre conferir):
que coincide com a componente
de
. Portanto a solução
satisfaz todas as três componentes, então
Passo 7
Conclusão e interpretação:
Se , então existe uma combinação linear não trivial entre os vetores. Reescrevendo:
Se
Como os coeficientes
não são todos zero, isso mostra que os vetores são linearmente dependentes. (Como alternativa, isso também corresponde ao fato de que a matriz formada pelos vetores como colunas tem determinante zero — cálculo rápido mostraria
, consistindo com dependência linear.)
Resposta
O conjunto é linearmente dependente; relação explícita:
.