Escreva os primeiros quatro termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de da série de Taylor das seguintes funções.
  1. sin (x^2)
  2. r^k1-2 x
  3. (1-x) e^x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre série de Taylor, que é uma forma de representar funções usando polinômios. Vou te mostrar como encontrar os quatro primeiros termos não nulos e a fórmula do coeficiente geral para cada uma das funções que você enviou. Vamos precisar lembrar das séries de Taylor de funções básicas como seno, exponencial e também de como manipular séries.

Passo 2

1. Função: sin(u) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! u^2n+1
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função sin(x^2) = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! (x^2)^2n+1 = sumn=0^infty (-1)^n(2n+1)! x^4n+2 , que é:
ak = (-1)^n(2n+1)! & se k = 4n + 2 0 & caso contrário
Aqui, . Então, substituindo na série:
Vamos listar os primeiros quatro termos não nulos:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Fórmula do coeficiente geral:
á
onde é um número inteiro não negativo.

Passo 3

2. Função: 11 - 2x = sumn=0^infty (2x)^n = sumn=0^infty 2^n x^n
Vamos reconhecer que a função r^k1 - 2x = r^k sumn=0^infty 2^n x^n = sumn=0^infty (r^k 2^n) x^n tem uma série de Taylor bem conhecida:
an = r^k cdot 2^n
Multiplicando por , temos:
Os primeiros quatro termos não nulos são:
  • :
  • :
  • :
  • :
Fórmula do coeficiente geral:
para todo .

Passo 4

3. Função: e^x = sumn=0^infty x^nn!
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função (1 - x) e^x = (1 - x) sumn=0^infty x^nn! = sumn=0^infty x^nn! - sumn=0^infty x^n+1n! :
(1 - x) e^x = sumn=0^infty ( x^nn! - x^n+1n! ) = sumn=0^infty ( x^nn! - x^n+1n! )
Agora, multiplicamos por (1 - x) e^x = 1 + sumn=1^infty x^nn! - sumn=1^infty x^n(n-1)! = 1 + sumn=1^infty ( 1n! - 1(n-1)! ) x^n :
(1 - x) e^x = 1 + sumn=1^infty ( 1 - nn! ) x^n
Vamos reorganizar os termos:
an = 1 - nn!
Podemos ajustar os índices para combinar os termos:
Simplificando:
Agora, vamos listar os primeiros quatro termos não nulos:
  • :
  • : (nulo, ignoramos)
  • :
  • :
  • :
Fórmula do coeficiente geral:
Observando a expressão geral, temos:
para todo .

Resposta

  1. ak = (-1)^n(2n+1)! & se k = 4n + 2 0 & caso contrário
    • Primeiros quatro termos não nulos: an = r^k cdot 2^n
    • Fórmula do coeficiente geral: an = 1 - nn! á
    • Primeiros quatro termos não nulos:
    • Fórmula do coeficiente geral:
    • Primeiros quatro termos não nulos:
    • Fórmula do coeficiente geral:

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