Escreva os primeiros quatro termos não nulos e a fórmula para o coeficiente de da série de Taylor das seguintes funções.
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Passo 1
Beleza! A gente vai resolver um exercício sobre série de Taylor, que é uma forma de representar funções usando polinômios. Vou te mostrar como encontrar os quatro primeiros termos não nulos e a fórmula do coeficiente geral para cada uma das funções que você enviou. Vamos precisar lembrar das séries de Taylor de funções básicas como seno, exponencial e também de como manipular séries.
Passo 2
1. Função:
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função
, que é:
Aqui,
. Então, substituindo na série:
Vamos listar os primeiros quatro termos não nulos:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Fórmula do coeficiente geral:
onde
é um número inteiro não negativo.
Passo 3
2. Função:
Vamos reconhecer que a função
tem uma série de Taylor bem conhecida:
Multiplicando por
, temos:
Os primeiros quatro termos não nulos são:
-
: -
: -
: -
:
Fórmula do coeficiente geral:
para todo
.
Passo 4
3. Função:
Primeiro, vamos lembrar a série de Taylor da função
:
Agora, multiplicamos por
:
Vamos reorganizar os termos:
Podemos ajustar os índices para combinar os termos:
Simplificando:
Agora, vamos listar os primeiros quatro termos não nulos:
-
: -
: (nulo, ignoramos) -
: -
: -
:
Fórmula do coeficiente geral:
Observando a expressão geral, temos:
para todo
.
Resposta
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- Primeiros quatro termos não nulos:
- Fórmula do coeficiente geral:
- Primeiros quatro termos não nulos:
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- Primeiros quatro termos não nulos:
- Fórmula do coeficiente geral:
- Primeiros quatro termos não nulos:
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- Primeiros quatro termos não nulos:
- Fórmula do coeficiente geral:
- Primeiros quatro termos não nulos: