Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
em
usando transformada de Fourier em
. O conteúdo envolve uma equação de difusão com coeficiente dependente de
e a solução de uma EDO para o espectro
.
Passo 2
Definimos a transformada de Fourier de
em
:
Pelo teorema, temos
e
. Substituindo na PDE obtém-se
Passo 3
Essa equação em
é uma EDO linear de 1ª ordem:
Usamos separação de variáveis e integramos de
a
, com condição inicial
.
A solução da EDO é
A solução da EDO é
Passo 4
Invertemos a transformada de Fourier para obter
:
Pela propriedade de convolução, isso equivale a
onde
Passo 5
Assim chegamos à solução por convolução com o núcleo gaussiano de variância
.