Usando o método da transformada de Fourier, resolva o problema de valor inicial dado. Em todos os casos, assuma -infty e t>0.
lut=t ux x u(x, 0)=f(x),

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial ut = t,uxx,;u(x,0)=f(x) em -infty0 usando transformada de Fourier em x. O conteúdo envolve uma equação de difusão com coeficiente dependente de t e a solução de uma EDO para o espectro hat u(k,t).

Passo 2

Definimos a transformada de Fourier de u(x,t) em x:
hat u(k,t)=integral-infty^inftyu(x,t)e^-ikx,dx
Pelo teorema, temos
partialthat u(k,t) = -k^2,t;hat u(k,t) e
. Substituindo na PDE obtém-se

Passo 3

Essa equação em t é uma EDO linear de 1ª ordem:
partialthat u + k^2t,hat u = 0
Usamos separação de variáveis e integramos de 0 a t, com condição inicial hat u(k,0)=hat f(k).
A solução da EDO é
hat u(k,t)=hat f(k),e^-tfrack^2t^22

Passo 4

Invertemos a transformada de Fourier para obter u(x,t):
u(x,t)=12piintegral-infty^inftyhat f(k),e^-tfrack^2t^22,e^ikx,dk
Pela propriedade de convolução, isso equivale a
u(x,t)=[f* g(cdot,t)](x),
onde
g(x,t)=12piintegral-infty^inftye^-tfrack^2t^22,e^ikx,dk =1traiz2pi,e^-tfracx^22t^2

Passo 5

Assim chegamos à solução por convolução com o núcleo gaussiano de variância t^2.

Resposta

u(x,t)=integral-infty^inftyf(y),1traiz2pi,e^-tfrac(x-y)^22t^2,dy

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