Escreva os primeiros termos da série para mostrar como a série começa. Então, calcule a soma da série.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}

Passo 1

O enunciado pede para escrever os primeiros termos e, em seguida, calcular a soma da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(\frac{1}{2^{n}}+\frac{(-1)^{n}}{5^{n}}\Bigr).
O conteúdo envolvido são séries geométricas. Para somar cada parte, vamos usar a fórmula da soma de uma PG infinita
S = \frac{a}{1 - r},\quad\text{válida quando }|r|<1.á

Passo 2

Vamos expor os primeiros termos, escrevendo o termo geral
a_{n} = \frac{1}{2^{n}} + \frac{(-1)^{n}}{5^{n}}.
Para n=1,2,3 temos:
n=1:\;\frac{1}{2} - \frac{1}{5},\qquad n=2:\;\frac{1}{4} + \frac{1}{25},\qquad n=3:\;\frac{1}{8} - \frac{1}{125}.
Logo, a série começa assim:
\Bigl(\tfrac12-\tfrac15\Bigr) + \Bigl(\tfrac14+\tfrac1{25}\Bigr) + \Bigl(\tfrac18-\tfrac1{125}\Bigr) + \cdots

Passo 3

Separemos a soma em duas séries:
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} \quad\text{e}\quad \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{5^n}.
A primeira é PG com a=\tfrac12 e r=\tfrac12. Como |r|<1,
\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n} = \frac{\tfrac12}{1 - \tfrac12} = 1.

Passo 4

A segunda é PG com a = -\tfrac15 e r = -\tfrac15. Como |r|<1,
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{5^n} = \frac{-\tfrac15}{1 - \bigl(-\tfrac15\bigr)} = \frac{-\tfrac15}{1 + \tfrac15} = -\tfrac16.

Passo 5

Somando as duas partes:
\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{1}{2^n} + \frac{(-1)^n}{5^n}\Bigr) = 1 + \bigl(-\tfrac16\bigr) = \tfrac{5}{6}.

Resposta

\tfrac{5}{6}

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