Nos Exercícios a) a f), encontre uma fórmula para a n-ésima soma parcial da série telescópica e use-a para determinar se a série converge ou diverge. Se a série converge, encontre a soma.
\sum_{n=1}^{\infty}(\sqrt{2 n+4}-\sqrt{2 n+3})

Passo 1

O enunciado pede a n-ésima soma parcial e o estudo de convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(\sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+3}\bigr).
O conteúdo é séries numéricas e para verificar convergência vamos usar comparação assintótica (ou teste de integral).

Passo 2

A n-ésima soma parcial S_{N} é
S_{N}=\sum_{n=1}^{N}\bigl(\sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+3}\bigr).
Podemos escrevê-la também como
S_{N}=\bigl(\sqrt{6}-\sqrt{5}\bigr)+\bigl(\sqrt{8}-\sqrt{7}\bigr)+\cdots+\bigl(\sqrt{2N+4}-\sqrt{2N+3}\bigr).

Passo 3

Para estudar o termo geral, racionalizamos:
\sqrt{2n+4}-\sqrt{2n+3} =\frac{(2n+4)-(2n+3)}{\sqrt{2n+4}+\sqrt{2n+3}} =\frac{1}{\sqrt{2n+4}+\sqrt{2n+3}}.
Logo
S_{N} =\sum_{n=1}^{N}\frac{1}{\sqrt{2n+4}+\sqrt{2n+3}}.

Passo 4

Para n grande,
\frac{1}{\sqrt{2n+4}+\sqrt{2n+3}} \sim\frac{1}{2\sqrt{2n}} =\frac{1}{2\sqrt{2}}\,n^{-1/2}.
Como a série \sum n^{-1/2} diverge (p-série com p=\tfrac12\le1), pelo teste da comparação assintótica nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados