Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n}

Passo 1

O enunciado nos dá a série infinita
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n}.
Pede-se:
  • escrever os quatro primeiros termos da série;
  • determinar se a série é convergente ou divergente;
  • se for convergente, obter a soma da série.
Informações úteis fornecidas / óbvias a partir do enunciado:
  • Cada termo geral da série é \,e^{-n}\, para n=1,2,3,\dots.
  • A constante e é o número de Euler, com e>1 (por isso e^{-1} é um número positivo menor que 1).

Passo 2

Escrever os quatro primeiros termos: basta substituir n=1,2,3,4 em \,e^{-n}\,.
\text{Termos: }\; e^{-1},\; e^{-2},\; e^{-3},\; e^{-4}.
Se quiser uma noção numérica (aproximações):
e\approx2,7182818\quad\Rightarrow\quad e^{-1}\approx0,367879,\; e^{-2}\approx0,135335,\; e^{-3}\approx0,049787,\; e^{-4}\approx0,018316.

Passo 3

Identificar o tipo de série e relembrar a ferramenta para resolvê-la.
Observação importante (fórmula que é essencial em provas): uma série geométrica infinita tem a forma
\sum_{n=0}^{+\infty} a\,r^{n},
onde a é o primeiro termo e r é a razão. Para essa série vale a fórmula do somatório parcial (quando r\neq1):
S_N = a + ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N-1} = a\frac{1-r^{N}}{1-r}.
Explicação curta de onde vem essa fórmula (método clássico, útil na prova):
  • Seja S_N = a + ar + \cdots + ar^{N-1}.
  • Multiplicando por r: rS_N = ar + ar^{2} + \cdots + ar^{N}.
  • Subtraindo: S_N - rS_N = a - ar^{N}.
  • Isolando S_N: S_N(1-r)=a(1-r^{N}), daí S_N = a\dfrac{1-r^{N}}{1-r}.
Critério de convergência para a série geométrica infinita:
  • Se |r|<1 então \lim_{N\to\infty} r^{N}=0 e a soma infinita converge para
S=\lim_{N\to\infty}S_N=\frac{a}{1-r}.
  • Se |r|\ge1 a série diverge (os termos não vão a zero ou somas parciais não têm limite).

Passo 4

Aplicar ao caso concreto \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}.
Reescrevendo a série na forma geométrica padrão: para n começando em 1 podemos ver cada termo como a r^{n-1} com
a=e^{-1}\quad\text{e}\quad r=e^{-1}.
(Outra visão equivalente: \sum_{n=1}^{\infty} e^{-n}=e^{-1}\sum_{k=0}^{\infty}(e^{-1})^{k}.)
Verificar o critério de convergência:
|r|=e^{-1}<1
porque e>1. Logo a série é convergente.
Calcular a soma usando \,S=\dfrac{a}{1-r}:
S=\frac{e^{-1}}{1-e^{-1}}.
Simplificando multiplicando numerador e denominador por e:
S=\frac{1}{e-1}.
Uma aproximação numérica:
S\approx\frac{1}{2,7182818-1}= \frac{1}{1,7182818}\approx0,581977.

Passo 5

Interpretação final e dica rápida para prova: esta é uma série geométrica com razão r=e^{-1} (positiva e menor que 1), por isso sempre convergente e com soma fechada simples \dfrac{1}{e-1}. Na prova, ao ver \,e^{-n}\, você já pode reconhecer imediatamente a geometria e aplicar a fórmula vista no Passo 3.

Resposta

Primeiros quatro termos: e^{-1},\; e^{-2},\; e^{-3},\; e^{-4}
A série é convergente.
Soma: \dfrac{1}{e-1} (aprox. 0,581977)

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