Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n}
\sum_{n=1}^{+\infty} e^{-n}
Passo 1
O enunciado nos dá a série infinita
Pede-se:
- escrever os quatro primeiros termos da série;
- determinar se a série é convergente ou divergente;
- se for convergente, obter a soma da série.
Informações úteis fornecidas / óbvias a partir do enunciado:
- Cada termo geral da série é
para . - A constante
é o número de Euler, com (por isso é um número positivo menor que ).
Passo 2
Escrever os quatro primeiros termos: basta substituir
em
.
Se quiser uma noção numérica (aproximações):
Passo 3
Identificar o tipo de série e relembrar a ferramenta para resolvê-la.
Observação importante (fórmula que é essencial em provas): uma série geométrica infinita tem a forma
onde
é o primeiro termo e
é a razão. Para essa série vale a fórmula do somatório parcial (quando
):
Explicação curta de onde vem essa fórmula (método clássico, útil na prova):
- Seja
. - Multiplicando por
: . - Subtraindo:
. - Isolando
: , daí .
Critério de convergência para a série geométrica infinita:
- Se
então e a soma infinita converge para
- Se
a série diverge (os termos não vão a zero ou somas parciais não têm limite).
Passo 4
Aplicar ao caso concreto
.
Reescrevendo a série na forma geométrica padrão: para
começando em
podemos ver cada termo como
com
(Outra visão equivalente:
.)
Verificar o critério de convergência:
porque
. Logo a série é convergente.
Calcular a soma usando
:
Simplificando multiplicando numerador e denominador por
:
Uma aproximação numérica:
Passo 5
Interpretação final e dica rápida para prova: esta é uma série geométrica com razão
(positiva e menor que
), por isso sempre convergente e com soma fechada simples
. Na prova, ao ver
você já pode reconhecer imediatamente a geometria e aplicar a fórmula vista no Passo 3.
Resposta
Primeiros quatro termos:
A série é convergente.
Soma: (aprox.
)
A série é convergente.
Soma: