Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos \pi n

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos \pi n
e pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da série e (2) determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a soma. Informações relevantes dadas:
  • A expressão geral do termo é \cos \pi n para n=1,2,3,\dots.
  • Precisa-se tanto dos primeiros termos quanto da discussão sobre convergência e, quando aplicável, da soma.

Passo 2

Vamos simplificar a expressão do termo geral \cos \pi n. Há uma identidade simples e elementar que podemos usar: para todo inteiro n,
\cos\big((n+1)\pi\big)=\cos(n\pi+\pi)=\cos(n\pi)\cos\pi-\sin(n\pi)\sin\pi.
Como \cos\pi=-1 e \sin\pi=0, isso vira
\cos\big((n+1)\pi\big)=-\cos(n\pi).
Partindo de \cos 0=1 e aplicando essa relação por indução obtemos que
\cos(n\pi)=(-1)^n\quad\text{para todo inteiro }n\ge0.
Portanto o termo geral da série é
a_n=\cos\pi n = (-1)^n.
Breve explicação do que isso significa: (-1)^n vale -1 quando n é ímpar e +1 quando n é par — os termos alternam entre -1 e +1.

Passo 3

Agora escrevo os quatro primeiros termos substituindo n=1,2,3,4:
a_1=\cos(\pi\cdot1)=(-1)^1=-1,
a_2=\cos(\pi\cdot2)=(-1)^2=+1,
a_3=\cos(\pi\cdot3)=(-1)^3=-1,
a_4=\cos(\pi\cdot4)=(-1)^4=+1.
Logo, os quatro primeiros termos são -1,\,1,\, -1,\,1.

Passo 4

Agora discutimos convergência. Um teste básico e imprescindível para séries diz: se a série \sum_{n=1}^{\infty} a_n converge, então o termo geral a_n deve tender a zero quando n\to\infty. Em notação,
\text{se }\sum_{n=1}^{\infty} a_n \text{ converge, então } \lim_{n\to\infty} a_n = 0.ã
Aqui temos a_n=(-1)^n. Observemos o limite:
\lim_{n\to\infty} (-1)^n
não existe — os valores oscilam entre -1 e +1 e, portanto, em particular, não tendem a 0. Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária para convergência a série não pode convergir. Assim a série diverge.
Como complemento, veja também o comportamento das somas parciais para intuição: a soma parcial de N termos é
S_N=\sum_{n=1}^{N} (-1)^n.
Calculando explicitamente, S_1=-1, S_2=0, S_3=-1, S_4=0, … ou seja, S_N alterna entre -1 e 0 e não possui limite quando N\to\infty. Isso confirma a divergência.

Passo 5

Conclusão final: a série não converge, portanto não existe soma finita associada a ela. Seja qual for o critério usado (teste do termo geral ou comportamento das somas parciais), o resultado é o mesmo.

Resposta

Primeiros quatro termos: -1,\;1,\;-1,\;1
Conclusão: a série é divergente (não possui soma).

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