Escreva os quatro primeiros termos da série infinita dada e determine se ela é convergente ou divergente. Se for convergente, obtenha a sua soma.
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos \pi n
\sum_{n=1}^{+\infty} \cos \pi n
Passo 1
O enunciado fornece a série
e pede duas coisas: (1) escrever os quatro primeiros termos da série e (2) determinar se a série é convergente ou divergente; se for convergente, obter a soma. Informações relevantes dadas:
- A expressão geral do termo é
para . - Precisa-se tanto dos primeiros termos quanto da discussão sobre convergência e, quando aplicável, da soma.
Passo 2
Vamos simplificar a expressão do termo geral
. Há uma identidade simples e elementar que podemos usar: para todo inteiro
,
Como
e
, isso vira
Partindo de
e aplicando essa relação por indução obtemos que
Portanto o termo geral da série é
Breve explicação do que isso significa:
vale
quando
é ímpar e
quando
é par — os termos alternam entre
e
.
Passo 3
Agora escrevo os quatro primeiros termos substituindo
:
Logo, os quatro primeiros termos são
.
Passo 4
Agora discutimos convergência. Um teste básico e imprescindível para séries diz: se a série
converge, então o termo geral
deve tender a zero quando
. Em notação,
Aqui temos
. Observemos o limite:
não existe — os valores oscilam entre
e
e, portanto, em particular, não tendem a
. Como o termo geral não tende a zero, pela condição necessária para convergência a série não pode convergir. Assim a série diverge.
Como complemento, veja também o comportamento das somas parciais para intuição: a soma parcial de
termos é
Calculando explicitamente,
,
,
,
, … ou seja,
alterna entre
e
e não possui limite quando
. Isso confirma a divergência.
Passo 5
Conclusão final: a série não converge, portanto não existe soma finita associada a ela. Seja qual for o critério usado (teste do termo geral ou comportamento das somas parciais), o resultado é o mesmo.
Resposta
Primeiros quatro termos:
Conclusão: a série é divergente (não possui soma).
Conclusão: a série é divergente (não possui soma).