Escreva a expressão do valor médio do módulo do vetor de Poynting ( \langle S\rangle ) em função da amplitude do campo elétrico E_{m} e em função do valor eficaz do campo elétrico E_{e f}.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que é dado:
  • Pedido: escrever a expressão do valor médio do módulo do vetor de Poynting \langle S\rangle em função da amplitude do campo elétrico \,E_m e também em função do valor eficaz do campo elétrico \,E_{\text{ef}}.
  • Informação implícita que vou usar: onda eletromagnética plana e harmônica no vácuo (ou meio livre), com campos elétrico e magnético perpendiculares e variando sinusoidalmente no tempo.
  • Variáveis que aparecerão:
    • \,E_m: amplitude (valor de pico) do campo elétrico.
    • \,E_{\text{ef}}: valor eficaz (RMS) do campo elétrico.
    • \mu_0: permeabilidade do vácuo.
    • \varepsilon_0: permissividade do vácuo.
    • \,c: velocidade da luz no vácuo, com \,c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.

Passo 2

Definição do vetor de Poynting e sua magnitude instantânea:
  • O vetor de Poynting representa a densidade de fluxo de energia eletromagnética. Em unidades SI uma forma conveniente é
\mathbf{S}=\mathbf{E}\times\mathbf{H}=\frac{1}{\mu_0}\,\mathbf{E}\times\mathbf{B}.
  • Para uma onda plana em que \mathbf{E} e \mathbf{B} são perpendiculares, a magnitude instantânea do fluxo de energia é
S(t)=\frac{1}{\mu_0}\,E(t)\,B(t).
Aqui E(t) e B(t) são os módulos instantâneos dos campos.

Passo 3

Relação entre \mathbf{E} e \mathbf{B} numa onda plana harmônica:
  • Para uma onda eletromagnética que se propaga no vácuo existe a relação de módulo
B(t)=\frac{1}{c}\,E(t),
pois \,c=1/\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}.
  • Vou tomar uma forma simples para o campo elétrico (onda harmônica):
E(t)=E_m\cos(\omega t).
Então o campo magnético tem a mesma variação temporal:
B(t)=B_m\cos(\omega t)=\frac{E_m}{c}\cos(\omega t).

Passo 4

Expressão do fluxo instantâneo e sua média temporal:
  • Substituindo B(t)=E(t)/c em S(t):
S(t)=\frac{1}{\mu_0}\,E(t)\,B(t)=\frac{1}{\mu_0}\,E(t)\,\frac{E(t)}{c}=\frac{1}{\mu_0 c}\,E^2(t).
  • Como escolhemos E(t)=E_m\cos(\omega t), ficamos com
S(t)=\frac{1}{\mu_0 c}\,E_m^2\cos^2(\omega t).

Passo 5

Cálculo da média temporal (valor médio) para sinal senoidal:
  • A média temporal de \cos^2(\omega t) sobre um período é \langle\cos^2\rangle=1/2.
  • Portanto a média do fluxo é
\langle S\rangle=\frac{1}{\mu_0 c}\,E_m^2\cdot\frac{1}{2}=\frac{E_m^2}{2\mu_0 c}.
  • Usando a identidade \varepsilon_0 c=\dfrac{1}{\mu_0 c} (ou alternativamente \dfrac{1}{\mu_0 c}=\varepsilon_0 c), obtém-se a forma equivalente muito usada:
\langle S\rangle=\frac{1}{2}\,\varepsilon_0 c\,E_m^2.
Expliquei as duas formas para você escolher a que achar mais familiar.

Passo 6

Expressão em função do valor eficaz \,E_{\text{ef}}:
  • O valor eficaz (RMS) de um sinal senoidal E(t)=E_m\cos(\omega t) é
E_{\text{ef}}=\sqrt{\langle E^2(t)\rangle}=\frac{E_m}{\sqrt{2}}.
  • Substituindo E_m=\sqrt{2}\,E_{\text{ef}} em \langle S\rangle=\dfrac{E_m^2}{2\mu_0 c} obtemos
\langle S\rangle=\frac{(\sqrt{2}\,E_{\text{ef}})^2}{2\mu_0 c}=\frac{2\,E_{\text{ef}}^2}{2\mu_0 c}=\frac{E_{\text{ef}}^2}{\mu_0 c}.
  • Usando de novo \dfrac{1}{\mu_0 c}=\varepsilon_0 c, a forma mais comum em termos do RMS é
\langle S\rangle=\varepsilon_0 c\,E_{\text{ef}}^2.

Passo 7

Resumo e lembretes práticos:
  • Fórmulas equivalentes para o valor médio do módulo do vetor de Poynting:
    • em termos da amplitude \,E_m: \langle S\rangle=\dfrac{E_m^2}{2\mu_0 c}=\dfrac{1}{2}\varepsilon_0 c E_m^2.
    • em termos do valor eficaz \,E_{\text{ef}}: \langle S\rangle=\dfrac{E_{\text{ef}}^2}{\mu_0 c}=\varepsilon_0 c E_{\text{ef}}^2.
  • Unidades: \langle S\rangle em \mathrm{W/m^2}; \varepsilon_0 em \mathrm{F/m}, \mu_0 em \mathrm{H/m}, c em \mathrm{m/s}.
  • Força-se a lembrar: usar E_{\text{ef}}=E_m/\sqrt{2} é a chave para passar de pico para RMS. Você já tem as fórmulas prontas para usar na prova — respira fundo, dá pra fazer!

Resposta

\displaystyle \langle S\rangle=\frac{E_m^2}{2\mu_0 c}=\frac{1}{2}\varepsilon_0 c\,E_m^2
\displaystyle \langle S\rangle=\varepsilon_0 c\,E_{\text{ef}}^2=\frac{E_{\text{ef}}^2}{\mu_0 c}

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