Escreva (relembre) as seguintes definições:
Matriz dos cofatores e matriz adjunta.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever (relembrar) as definições de duas coisas:
  • Matriz dos cofatores.
  • Matriz adjunta (também chamada adjugate ou adjunta clássica).
Informações dadas: não há dados adicionais — só é pedido definir esses objetos. Vou explicar do zero, passo a passo, com exemplos e dicas para a prova.

Passo 2

Primeiro conceito necessário: menor de uma matriz. Seja A uma matriz quadrada de ordem n (ou seja, A é n\times n). Para fixar notação, chame de a_{ij} o elemento de A na linha i e coluna j.
Definição de menor (ou minor) de ordem n-1 relativo a a_{ij}:
  • Faça a matriz que sobra ao eliminar a linha i e a coluna j de A.
  • Denota-se esse determinante por M_{ij}.
    Assim, M_{ij} é o determinante da submatriz obtida ao remover a linha i e a coluna j de A.
Exemplo rápido: se
A=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix},
então
M_{12}=\det\begin{pmatrix}a_{21}&a_{23}\\\ a_{31}&a_{33}\end{pmatrix}.

Passo 3

Agora a definição de cofator (ou cofactor) de a_{ij}.
Definição:
  • O cofator C_{ij} associado a a_{ij} é
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o menor definido no passo anterior.
  • O sinal (-1)^{i+j} cria o padrão de sinais “xadrez” (começando com + em (1,1)):
\begin{pmatrix} + & - & + & - & \cdots\\\\ - & + & - & + & \cdots\\\\ + & - & + & - & \cdots\\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}.
Interpretação prática: calcule o determinante do menor e multiplique por +1 ou -1 conforme i+j for par ou ímpar.

Passo 4

Definição da matriz dos cofatores.
  • A matriz dos cofatores de A é a matriz \operatorname{cof}(A) (ou às vezes C(A)) cujos elementos são os cofatores C_{ij}:
\operatorname{cof}(A) = \bigl(C_{ij}\bigr)_{i,j=1}^n.
Ou seja, o elemento da linha i e coluna j de \operatorname{cof}(A) é C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Dica de prova: para formar \operatorname{cof}(A) calcule para cada posição (i,j) o menor M_{ij} e aplique o sinal (-1)^{i+j}.

Passo 5

Definição da matriz adjunta (adjugate, adjunta clássica).
  • A matriz adjunta de A, denotada por \operatorname{adj}(A), é a transposta da matriz dos cofatores:
\operatorname{adj}(A)=\bigl(\operatorname{cof}(A)\bigr)^{\mathsf T}.
Em componentes:
\bigl(\operatorname{adj}(A)\bigr)_{ij}=C_{ji}.
Propriedade importante (muito útil na prova):
  • Para qualquer matriz quadrada A vale a identidade
A\,\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)\,A=\det(A)\,I_n,
onde I_n é a matriz identidade de ordem n.
  • Consequência imediata: se \det(A)\neq 0 então A é invertível e
A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}\,\operatorname{adj}(A).
Isso é frequentemente usado para calcular inversas em provas (especialmente para 2\times2 e 3\times3).

Passo 6

Exemplo didático 1 — caso 2\times2.
Se
A=\begin{pmatrix}a&b\\[4pt] c&d\end{pmatrix},
então menores e cofatores são:
  • M_{11}=d,\; C_{11}=(+1)\cdot d=d.
  • M_{12}=c,\; C_{12}=(-1)\cdot c=-c.
  • M_{21}=b,\; C_{21}=(-1)\cdot b=-b.
  • M_{22}=a,\; C_{22}=(+1)\cdot a=a.
Matriz dos cofatores:
\operatorname{cof}(A)=\begin{pmatrix}d & -c\\[4pt] -b & a\end{pmatrix}.
Matriz adjunta (transposta da anterior):
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.
Inversa (se \det(A)=ad-bc\neq 0):
A^{-1}=\dfrac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix}d & -b\\[4pt] -c & a\end{pmatrix}.]

Passo 7

Exemplo didático 2 — 3\times3 numérico (passo a passo).
Considere
A=\begin{pmatrix}1&2&3\\[4pt]0&4&5\\[4pt]1&0&6\end{pmatrix}.
  1. Calcular \det(A) (expansão pela primeira linha):
\det(A)=1\cdot\det\begin{pmatrix}4&5\\[2pt]0&6\end{pmatrix} -2\cdot\det\begin{pmatrix}0&5\\[2pt]1&6\end{pmatrix} +3\cdot\det\begin{pmatrix}0&4\\[2pt]1&0\end{pmatrix}.
Cálculos:
\det\begin{pmatrix}4&5\\[2pt]0&6\end{pmatrix}=24,\quad \det\begin{pmatrix}0&5\\[2pt]1&6\end{pmatrix}=-5,\quad \det\begin{pmatrix}0&4\\[2pt]1&0\end{pmatrix}=-4.
Logo
\det(A)=1\cdot24-2\cdot(-5)+3\cdot(-4)=24+10-12=22.
  1. Calcular cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
Já computados os menores:
\begin{aligned} M_{11}&=24,& C_{11}&=+24;\\\ M_{12}&=-5,& C_{12}&=-(-5)=5;\\\ M_{13}&=-4,& C_{13}&=+(-4)=-4;\\[4pt] M_{21}&=12,& C_{21}&=-12;\\\ M_{22}&=3,& C_{22}&=3;\\\ M_{23}&=-2,& C_{23}&=-(-2)=2;\\[4pt] M_{31}&=-2,& C_{31}&=-2;\\\ M_{32}&=5,& C_{32}&=-5;\\\ M_{33}&=4,& C_{33}&=4. \end{aligned}
Matriz dos cofatores:
\operatorname{cof}(A)=\begin{pmatrix} 24 & 5 & -4\\[4pt] -12 & 3 & 2\\[4pt] -2 & -5 & 4 \end{pmatrix}.
Matriz adjunta (transposta):
\operatorname{adj}(A)=\begin{pmatrix} 24 & -12 & -2\\[4pt] 5 & 3 & -5\\[4pt] -4 & 2 & 4 \end{pmatrix}.
Verificação da propriedade:
A\,\operatorname{adj}(A)=22\,I_3=\det(A)\,I_3,
o que confirma os cálculos (pode ser verificado multiplicando as matrizes linha a linha).
Inversa (já que \det(A)=22\neq0):
A^{-1}=\dfrac{1}{22}\operatorname{adj}(A) =\begin{pmatrix} \dfrac{12}{11} & -\dfrac{6}{11} & -\dfrac{1}{11}\\[6pt] \dfrac{5}{22} & \dfrac{3}{22} & -\dfrac{5}{22}\\[6pt] -\dfrac{2}{11} & \dfrac{1}{11} & \dfrac{2}{11} \end{pmatrix}.]

Passo 8

Dicas rápidas para a prova (práticas e amigáveis):
  • Para formar cofatores, escolha linhas/colunas com zeros para simplificar o cálculo dos menores.
  • Lembre do padrão de sinais (-1)^{i+j} — uma boa maneira é desenhar a matriz de sinais para a ordem desejada.
  • Para 2\times2 memorize: \operatorname{adj}\begin{pmatrix}a&b\\\ c&d\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}d&-b\\\\ -c&a\end{pmatrix}.
  • Se a questão pede inversa e \det(A) for simples, usar \operatorname{adj}(A)/\det(A) é direto; para matrizes maiores, prefira métodos computacionais ou eliminação quando apropriado.
  • Respira fundo — prática com alguns exemplos resolve a ansiedade. Você consegue!

Resposta

Matriz dos cofatores: para uma matriz quadrada A=(a_{ij}), a matriz dos cofatores é \operatorname{cof}(A)=(C_{ij}) com
C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij},
onde M_{ij} é o determinante da submatriz obtida eliminando a linha i e a coluna j de A.
Matriz adjunta: a matriz adjunta (adjugate) de A é a transposta da matriz dos cofatores,
\operatorname{adj}(A)=\bigl(\operatorname{cof}(A)\bigr)^{\mathsf T},
e satisfaz A\,\operatorname{adj}(A)=\operatorname{adj}(A)\,A=\det(A)\,I.

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