Escreva (relembre) as seguintes definições:
Matriz inversa.

Passo 1

O enunciado pede para escrever (relembrar) a definição de matriz inversa. Não há outros dados numéricos ou figuras — a tarefa é fornecer a definição formal, explicar o que isso significa e mostrar como verificar / calcular a inversa na prática.

Passo 2

Definição do elemento neutro (matriz identidade), que é necessária para falar de inversa.
A matriz identidade de ordem n\) é a matriz \(\,I_n\in\mathbb{K}^{n\times n}\,\) cujos elementos são \[(I_n)_{ij} = \begin{cases} 1, & \text{se } i=j,\\[4pt] 0, & \text{se } i\ne j. \end{cases}
Ou seja, multiplicar qualquer matriz quadrada A\] por \(I_n à esquerda ou à direita não altera A:
I_n A = A I_n = A.
Aqui \mathbb{K} denota o corpo dos escalares (por exemplo \mathbb{R} ou \mathbb{C}). Cada variável no índice i,j indica linha e coluna.]

Passo 3

Definição formal de matriz inversa.
Seja A\in\mathbb{K}^{n\times n}. Dizemos que uma matriz B\in\mathbb{K}^{n\times n} é a inversa (ou matriz inversa) de A se ela satisfaz
AB = BA = I_n.
Quando existe tal matriz B escrevemos B=A^{-1} e dizemos que A é invertível (ou não singular). Se não existe B com essa propriedade, dizemos que A é singular (não invertível).

Passo 4

Comentário sobre existência: condição determinantal (caso usual \mathbb{K}=\mathbb{R} ou \mathbb{C}).
Para matrizes quadradas, uma condição prática e muito usada é:
A \text{ é invertível} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A)\neq 0.éí
Aqui \det(A) é o determinante de A. Intuição: \det(A)=0 significa que as colunas (ou linhas) de A são linearmente dependentes, então não existe transformação linear inversa que recupere vetores unicamente — por isso não existe A^{-1}.

Passo 5

Prova curta da unicidade da inversa (importante para entender que falamos de “a” inversa, não de várias).
Suponha que B e C sejam duas inversas de A. Então
B = B I_n = B(AC) = (BA)C = I_n C = C.
Logo B=C. Portanto, se a inversa existe, ela é única.

Passo 6

Fórmula direta para matrizes 2\times2 (útil em prova/tempo curto e para checar resultados). Seja
A=\begin{pmatrix} a & b \\[2pt] c & d \end{pmatrix}.
O determinante é \det(A)=ad-bc. Se \det(A)\neq 0, então a inversa é
A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{pmatrix} d & -b \\[2pt] -c & a \end{pmatrix}.
Explicação rápida do porquê: esta matriz multiplica A e produz I_2; a divisão por ad-bc corrige a escala (se \det(A)=1 as entradas da adjunta já fariam A^{-1}).]

Passo 7

Método prático e geral para calcular A^{-1}: eliminação de Gauss-Jordan.
Passos para usar o método sem calcular adjuntas:
  1. Forme a matriz aumentada \bigl[A \mid I_n\bigr].
  2. Aplique operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não zero, somar múltiplo de uma linha em outra) para transformar o bloco esquerdo A em I_n.
  3. Se for possível reduzir A a I_n, o bloco que aparecerá à direita será A^{-1}. Se durante o processo não for possível (por exemplo, aparece uma linha de zeros no lado esquerdo), então \det(A)=0 e A não é invertível.
    Exemplo simbólico do procedimento:
\bigl[A \mid I_n\bigr] \stackrel{\text{rows ops}}{\longrightarrow} \bigl[I_n \mid A^{-1}\bigr].
Dica: faça as operações de maneira organizada para evitar erro de conta; para provas, explique as etapas de linhas claramente.

Passo 8

Propriedades úteis sobre inversas (que caem muito em prova — decorá-las e saber justificar rapidamente):
  • (A^{-1})^{-1} = A.
  • (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} para A,B invertíveis (ordem invertida).
  • (A^T)^{-1} = (A^{-1})^T quando A é invertível.
  • (kA)^{-1} = \dfrac{1}{k}A^{-1} para escalar k\neq 0.
  • Se A é invertível, então as equações Ax=b têm solução única dada por x=A^{-1}b.
Cada uma pode ser demonstrada com multiplicações e associatividade das matrizes (por exemplo, para (AB)^{-1}, verificar que (AB)(B^{-1}A^{-1})=I e (B^{-1}A^{-1})(AB)=I).

Passo 9

Exemplo numérico rápido (2x2) para fixar:
Seja
A=\begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix}.
Calcule \det(A)=2\cdot1-1\cdot1=1\neq 0. Pelo passo 6,
A^{-1}=\frac{1}{1}\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix}.
Verificação rápida:
A A^{-1}= \begin{pmatrix}2 & 1\\[2pt]1 & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & -1\\[2pt]-1 & 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\cdot1+1\cdot(-1) & 2\cdot(-1)+1\cdot2\\[2pt]1\cdot1+1\cdot(-1) & 1\cdot(-1)+1\cdot2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & 0\\[2pt]0 & 1\end{pmatrix}=I_2.]

Passo 10

Resumo prático para a prova (meio motivacional e objetivo):
  • Para verificar se uma matriz quadrada A tem inversa: calcule \det(A). Se \det(A)=0, não é invertível; se \det(A)\neq 0, existe inversa.
  • Para 2\times2 use a fórmula direta (rápida).
  • Para ordens maiores faça Gauss-Jordan em \bigl[A\mid I_n\bigr].
  • Lembre das propriedades (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} e (A^T)^{-1}=(A^{-1})^T — úteis para manipular expressões na prova.
  • Se ficar nervoso: escreva claramente as operações de linha, verifique determinante antes de tentar inverter.
Força aí — dá pra aprender isso rápido: identificar se é invertível (determinante) e aplicar a técnica adequada (fórmula 2x2 ou Gauss-Jordan).

Resposta

Seja A\in\mathbb{K}^{n\times n}. A matriz B\in\mathbb{K}^{n\times n} é a inversa de A se e somente se
AB = BA = I_n.
Quando existe tal B escreve-se B=A^{-1} e diz-se que A é invertível; caso contrário, A é singular (não invertível).

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