Escreva (relembre) as seguintes definições:
Matriz inversa.
Matriz inversa.
Passo 1
O enunciado pede para escrever (relembrar) a definição de matriz inversa. Não há outros dados numéricos ou figuras — a tarefa é fornecer a definição formal, explicar o que isso significa e mostrar como verificar / calcular a inversa na prática.
Passo 2
Definição do elemento neutro (matriz identidade), que é necessária para falar de inversa.
A matriz identidade de ordem
Ou seja, multiplicar qualquer matriz quadrada
à esquerda ou à direita não altera
:
Aqui
denota o corpo dos escalares (por exemplo
ou
). Cada variável no índice
indica linha e coluna.]
Passo 3
Definição formal de matriz inversa.
Seja
. Dizemos que uma matriz
é a inversa (ou matriz inversa) de
se ela satisfaz
Quando existe tal matriz
escrevemos
e dizemos que
é invertível (ou não singular). Se não existe
com essa propriedade, dizemos que
é singular (não invertível).
Passo 4
Comentário sobre existência: condição determinantal (caso usual
ou
).
Para matrizes quadradas, uma condição prática e muito usada é:
Aqui
é o determinante de
. Intuição:
significa que as colunas (ou linhas) de
são linearmente dependentes, então não existe transformação linear inversa que recupere vetores unicamente — por isso não existe
.
Passo 5
Prova curta da unicidade da inversa (importante para entender que falamos de “a” inversa, não de várias).
Suponha que
e
sejam duas inversas de
. Então
Logo
. Portanto, se a inversa existe, ela é única.
Passo 6
Fórmula direta para matrizes
(útil em prova/tempo curto e para checar resultados). Seja
O determinante é
. Se
, então a inversa é
Explicação rápida do porquê: esta matriz multiplica
e produz
; a divisão por
corrige a escala (se
as entradas da adjunta já fariam
).]
Passo 7
Método prático e geral para calcular
: eliminação de Gauss-Jordan.
Passos para usar o método sem calcular adjuntas:
- Forme a matriz aumentada
. - Aplique operações elementares de linha (troca de linhas, multiplicar linha por escalar não zero, somar múltiplo de uma linha em outra) para transformar o bloco esquerdo
em . - Se for possível reduzir
a , o bloco que aparecerá à direita será . Se durante o processo não for possível (por exemplo, aparece uma linha de zeros no lado esquerdo), então e não é invertível.
Exemplo simbólico do procedimento:
Dica: faça as operações de maneira organizada para evitar erro de conta; para provas, explique as etapas de linhas claramente.
Passo 8
Propriedades úteis sobre inversas (que caem muito em prova — decorá-las e saber justificar rapidamente):
-
. -
para invertíveis (ordem invertida). -
quando é invertível. -
para escalar . - Se
é invertível, então as equações têm solução única dada por .
Cada uma pode ser demonstrada com multiplicações e associatividade das matrizes (por exemplo, para
, verificar que
e
).
Passo 9
Exemplo numérico rápido (2x2) para fixar:
Seja
Calcule
. Pelo passo 6,
Verificação rápida:
Passo 10
Resumo prático para a prova (meio motivacional e objetivo):
- Para verificar se uma matriz quadrada
tem inversa: calcule . Se , não é invertível; se , existe inversa. - Para
use a fórmula direta (rápida). - Para ordens maiores faça Gauss-Jordan em
. - Lembre das propriedades
e — úteis para manipular expressões na prova. - Se ficar nervoso: escreva claramente as operações de linha, verifique determinante antes de tentar inverter.
Força aí — dá pra aprender isso rápido: identificar se é invertível (determinante) e aplicar a técnica adequada (fórmula 2x2 ou Gauss-Jordan).
Resposta
Seja
. A matriz
é a inversa de
se e somente se
Quando existe tal
escreve-se
e diz-se que
é invertível; caso contrário,
é singular (não invertível).