Em cada item abaixo, dê condições sobre as constantes a, b e c para que o sistema possua solução única, nenhuma solução ou infinitas soluções. \left\{\begin{array}{l}x+a y=0 \\\ y+b z=0 \\\ c x+z=-0\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear homogêneo
\begin{cases} x + a y = 0,\\[4pt] y + b z = 0,\\[4pt] c x + z = 0, \end{cases}
e pede condições sobre as constantes a,b,c para que o sistema tenha:
solução única;
nenhuma solução;
infinitas soluções.
Informações relevantes fornecidas:
É um sistema linear de 3 equações e 3 incógnitas (x,y,z).
Os coeficientes dependem das constantes a,b,c.
O termo independente de todas as equações é 0 (sistema homogêneo).]
Passo 2
Ideia para atacar o problema (explicação didática curta e amigável): para um sistema linear representado por A\mathbf{x}=\mathbf{0}, onde A é a matriz dos coeficientes, a existência e unicidade das soluções é controlada pela determinante de A:
Se \det(A)\neq 0, a matriz A é invertível e o único vetor que satisfaz A\mathbf{x}=\mathbf{0} é \mathbf{x}=\mathbf{0} (solução única, a trivial).
Se \det(A)=0, a matriz não é invertível e existem vetores não nulos \mathbf{x} tais que A\mathbf{x}=\mathbf{0}; isso dá infinitas soluções no caso homogêneo.
Num sistema homogêneo nunca ocorre “nenhuma solução”: sempre existe ao menos a solução trivial \mathbf{0}.
Então vamos construir A e calcular \det(A).
Passo 3
Matriz dos coeficientes A (cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a x,y,z):
A=\begin{pmatrix} 1 & a & 0\\[4pt] 0 & 1 & b\\[4pt] c & 0 & 1 \end{pmatrix}.
Calculamos \det(A) por desenvolvimento na primeira linha (ou por regra de Sarrus estendida). Faço o cálculo passo a passo:
\det\begin{pmatrix}0 & b\\[4pt]c & 1\end{pmatrix}=0\cdot1 - b\cdot c = -b c.
Substituindo:
\det(A)=1 - a\cdot(-b c)=1 + a b c.
Portanto
\det(A)=1+abc.]
Passo 4
Interpretação do resultado (sempre lembrar: sistema homogêneo):
Se 1+abc\neq 0, então \det(A)\neq 0 e a matriz é invertível. Logo a única solução é a trivial (x,y,z)=(0,0,0).
Se 1+abc=0, então \det(A)=0 e a matriz não é invertível. Como o sistema é homogêneo, isso implica existência de soluções não-triviais; portanto há infinitas soluções (um subespaço de dimensão pelo menos 1 contendo a origem).
“Nenhuma solução” não ocorre porque o sistema é homogêneo (sempre tem a solução trivial).
Passo 5
Para entender explicitamente a família de soluções quando 1+abc=0, podemos resolver por substituição (isso também ajuda na prova da afirmação anterior). Das equações:
x = -a y,\qquad y = -b z,\qquad z = -c x.
Substituindo progressivamente em função de z:
y = -b z,\qquad x = -a y = -a(-b z)=a b z.
A terceira equação exige z = -c x = -c(a b z) = -a b c\, z, ou seja
(1+abc)\,z = 0.
Se 1+abc=0 essa igualdade é identicamente satisfeita para qualquer z. Logo podemos tomar z=t livre e obter
y = -b t,\qquad x = a b t.
Assim a família de soluções é
(x,y,z)=t\,(ab,\,-b,\,1),\qquad t\in\mathbb{R},
confirmando que há infinitas soluções (uma reta de soluções passando pela origem) quando 1+abc=0.
Resposta
Solução única: 1+abc\neq 0 (única solução (x,y,z)=(0,0,0)).
Nenhuma solução: impossível (o sistema é homogêneo e sempre tem a solução trivial).
Infinitas soluções: 1+abc=0 (as soluções são (x,y,z)=t\,(ab,\,-b,\,1), t\in\mathbb{R}).