Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
a b c(a+b+c) \leq a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}.

Passo 1

O enunciado dá que a, b e c são números reais não negativos (ou seja, a\ge 0, b\ge 0, c\ge 0) e pede para provar a desigualdade
a b c(a+b+c) \leq a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}.
Ou seja, mostrar que a diferença
a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}-a b c(a+b+c)
é não negativa para todos a,b,c\ge 0. Não assume nada além do que está dado.

Passo 2

Ideia chave: usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Vou aplicar essa ideia às diferenças ab-bc, bc-ca e ca-ab. Lembrando: para todo real x vale x^{2}\ge 0. Em particular, para x=ab-bc temos
(ab-bc)^{2}\ge 0.
Agora vou desenvolver essa desigualdade explicitamente para ver os termos que surgem.

Passo 3

Expandindo (ab-bc)^{2} obtemos:
(ab-bc)^{2}=a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}-2ab^{2}c\ge 0.
Rearranjando, isto dá
a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}\ge 2ab^{2}c.
De forma análoga, aplicando a mesma ideia a bc-ca e a ca-ab obtemos as duas desigualdades cyclicamente:
b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\ge 2bc^{2}a,
c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\ge 2ca^{2}b.

Passo 4

Agora somo as três desigualdades obtidas no passo anterior:
\bigl(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}\bigr)+\bigl(b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\bigr)+\bigl(c^{2}a^{2}+a^{2}b^{2}\bigr) \ge 2\bigl(ab^{2}c+bc^{2}a+ca^{2}b\bigr).
No lado esquerdo cada termo a^{2}b^{2}, b^{2}c^{2}, c^{2}a^{2} aparece duas vezes, logo o lado esquerdo é
2\bigl(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\bigr).
No lado direito o fator comum é 2abc multiplicando a+b+c, pois
ab^{2}c+bc^{2}a+ca^{2}b = abc(a+b+c).
Portanto a soma dá
2\bigl(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\bigr)\ge 2abc(a+b+c).
Dividindo ambos os lados por 2 (permitido, é positivo), obtemos exatamente
a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}\ge abc(a+b+c),
que é a desigualdade desejada.

Passo 5

Observação sobre igualdade: a igualdade ocorre se e somente se todas as três quantidades ao quadrado forem zero simultaneamente:
ab-bc=0,\qquad bc-ca=0,\qquad ca-ab=0.
Isso implica ab=bc=ca. Das equações segue que ou pelo menos dois dos três números são zero (por exemplo a=b=0 com c qualquer), ou nenhum é zero e então dividing por produtos não nulos leva a a=b=c. Assim a igualdade acontece quando a=b=c ou quando pelo menos dois dos números são zero (caso degenerado que inclui o caso todos zero).

Resposta

A desigualdade vale para todos a,b,c\ge 0: \;a b c(a+b+c) \leq a^{2} b^{2}+b^{2} c^{2}+c^{2} a^{2}. Igualdade quando a=b=c ou quando pelo menos dois dos valores a,b,c são zero.

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