Sejam a, b e c números reais não negativos. Prove as seguintes desigualdades:
.
Passo 1
O enunciado dá que
,
e
são números reais não negativos (ou seja,
,
,
) e pede para provar a desigualdade
Ou seja, mostrar que a diferença
é não negativa para todos
. Não assume nada além do que está dado.
Passo 2
Ideia chave: usar que o quadrado de qualquer número real é não negativo. Vou aplicar essa ideia às diferenças
,
e
. Lembrando: para todo real
vale
. Em particular, para
temos
Agora vou desenvolver essa desigualdade explicitamente para ver os termos que surgem.
Passo 3
Expandindo
obtemos:
Rearranjando, isto dá
De forma análoga, aplicando a mesma ideia a
e a
obtemos as duas desigualdades cyclicamente:
Passo 4
Agora somo as três desigualdades obtidas no passo anterior:
No lado esquerdo cada termo
,
,
aparece duas vezes, logo o lado esquerdo é
No lado direito o fator comum é
multiplicando
, pois
Portanto a soma dá
Dividindo ambos os lados por
(permitido, é positivo), obtemos exatamente
que é a desigualdade desejada.
Passo 5
Observação sobre igualdade: a igualdade ocorre se e somente se todas as três quantidades ao quadrado forem zero simultaneamente:
Isso implica
. Das equações segue que ou pelo menos dois dos três números são zero (por exemplo
com
qualquer), ou nenhum é zero e então dividing por produtos não nulos leva a
. Assim a igualdade acontece quando
ou quando pelo menos dois dos números são zero (caso degenerado que inclui o caso todos zero).
Resposta
A desigualdade vale para todos
:
Igualdade quando
ou quando pelo menos dois dos valores
são zero.