Calcule
. Verifique para os
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular
para os casos em que
,
e
. Isso está relacionado ao estudo dos operadores de spin na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados e variâncias de operadores.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é a variância de
. A variância mede a “dispersão” dos valores de
em relação à sua média
. A fórmula para a variância é:
Então, nosso objetivo é calcular
e
para cada valor de
.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Supondo que estamos trabalhando com um estado de spin representado por um ângulo
, temos:
Aqui,
é a constante reduzida de Planck, e
determina a orientação do spin.
Passo 4
Agora, vamos calcular
. Para um operador de spin, sabemos que:
Isso ocorre porque
para um spin-1/2 tem valor fixo independente do estado.
Passo 5
Com esses valores, podemos calcular a variância:
Passo 6
Agora, vamos verificar para os casos específicos de
:
-
Para
: -
Para
: -
Para
:
Resposta
A variância
é:
- Para
: - Para
: - Para
: