Calcule lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<=. Verifique para os casos theta=0, pi2, pi

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício que pede para calcular lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= para os casos em que theta = 0, pi2 e pi. Isso está relacionado ao estudo dos operadores de spin na mecânica quântica. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular valores esperados e variâncias de operadores.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= é a variância de Sx. A variância mede a “dispersão” dos valores de Sx em relação à sua média lang<= Sx rang<=. A fórmula para a variância é:
Var(Sx) = lang<= Sx^2 rang<= - lang<= Sx rang<=^2
Então, nosso objetivo é calcular lang<= Sx rang<= e lang<= Sx^2 rang<= para cada valor de theta.

Passo 3

Vamos começar calculando lang<= Sx rang<=. Supondo que estamos trabalhando com um estado de spin representado por um ângulo theta, temos:
lang<= Sx rang<= = hbar2 sintheta
Aqui, hbar é a constante reduzida de Planck, e theta determina a orientação do spin.

Passo 4

Agora, vamos calcular lang<= Sx^2 rang<=. Para um operador de spin, sabemos que:
lang<= Sx^2 rang<= = (hbar2)^2
Isso ocorre porque Sx^2 para um spin-1/2 tem valor fixo independente do estado.

Passo 5

Com esses valores, podemos calcular a variância:
Var(Sx) = lang<= Sx^2 rang<= - lang<= Sx rang<=^2 = (hbar2)^2 - (hbar2 sintheta)^2 = hbar^24 (1 - sin^2theta) = hbar^24 cos^2theta

Passo 6

Agora, vamos verificar para os casos específicos de theta:
  1. Para theta = 0:
    Var(Sx) = hbar^24 cos^2(0) = hbar^24 times 1 = hbar^24
  2. Para theta = pi2:
    Var(Sx) = hbar^24 cos^2(pi2) = hbar^24 times 0 = 0
  3. Para theta = pi:
    Var(Sx) = hbar^24 cos^2(pi) = hbar^24 times 1 = hbar^24

Resposta

A variância lang<=(Sx-lang<= Sxrang<=)^2rang<= é:
  • Para theta = 0: hbar^24
  • Para theta = pi2: 0
  • Para theta = pi: hbar^24

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