Escreva a reta intersecção dos planos:
pi1: 4 x-y+2 z-3=0 e pi2: x+2 y-3 z+5=0

Passo 1

O enunciado pede a reta de intersecção entre os planos
pi1:4x - y + 2z - 3 = 0 e pi2:x + 2y - 3z + 5 = 0.
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: para achar a reta, a gente precisa de um vetor diretor (que é perpendicular a ambos os vetores normais dos planos) e de um ponto que satisfaça simultaneamente as duas equações.

Passo 2

Vamos primeiro extrair os vetores normais dos planos:
o normal de pi1 é n1 = (4,,-1,,2) e o normal de pi2 é n2 = (1,,2,,-3).

Passo 3

O vetor diretor v da reta é dado pelo produto vetorial n1 times n2. Calculando:
v = i & j & k 4 & -1 & 2 1 & 2 & -3 = (-1cdot(-3) - 2cdot2),i - (4cdot(-3) - 2cdot1),j + (4cdot2 - (-1)cdot1),k
v = (3 - 4),i -(-12 - 2),j + (8 + 1),k = (-1,,14,,9)

Passo 4

Agora precisamos de um ponto P que esteja em ambas as equações. Escolhendo x=0 e substituindo em
pi1:;-y + 2z - 3 = 0 e pi2:;2y - 3z + 5 = 0,
da primeira vem y = 2z - 3. Na segunda:
2(2z - 3) - 3z + 5 = 0 ;Longrightarrow; 4z - 6 - 3z + 5 = 0 ;Longrightarrow; z = 1,
logo y = 2cdot1 - 3 = -1. Portanto um ponto na reta é P(0,-1,1).

Passo 5

Com o ponto
onde (t\in\mathbb{R}].

Resposta

ell:;(x,y,z) = (0,-1,1) + t,(-1,14,9), tinR

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