Escreva um roteiro para construir, com compasso e régua com escala, a elipse com equação
.
Sugestão: escolha o ângulo
medido a partir do eixo
no sentido anti-horário e se inspire no roteiro dado nesta aula.
Sugestão: escolha o ângulo
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos: construir com compasso e régua com escala a elipse de equação
com
. Vou escolher um ângulo
medido a partir do eixo
no sentido anti-horário (ou seja,
corresponde ao ponto
no eixo
). O objetivo final é traçar vários pontos da elipse para depois ligá-los suavemente.
Passo 2
Idéia matemática simples por trás da construção (explicação curta e necessária):
- Uma parametrização conveniente, medindo
a partir do eixo , é
- Verificação rápida: substituindo na equação da elipse dá
logo cada par
está na elipse. A construção vai obter geometricamente esses pontos.
Passo 3
Idéia prática para o instrumento (o “truque” geométrico):
- Constrói-se primeiro um círculo de raio
centrado em . Um ponto sobre esse círculo correspondente ao mesmo ângulo (medido a partir do eixo ) tem coordenadas . - Para chegar ao ponto da elipse mantém-se a mesma ordenada
e escala-se a abscissa multiplicando por . Ou seja, a partir do ponto do círculo aplica-se um fator de escala horizontal . Esse fator é obtido por um passo de semelhança de triângulos usando a régua com escala.
Passo 4
Materiais e preparação do sistema de referência:
- Traçar com régua dois eixos perpendiculares
(horizontal) e (vertical) com origem . - Com compasso marcar no eixo
o ponto tal que (positivo para cima) e marcar no eixo o ponto tal que (positivo para a direita). Esses segmentos são os semi-eixos. - Desenhar o círculo de centro
e raio . Esse círculo serve para localizar o ponto correspondente ao ângulo .
Passo 5
Como localizar, no círculo, o ponto que corresponde ao ângulo
medido a partir do eixo
:
- A partir do eixo
traçar o raio que faz ângulo no sentido anti-horário. Para isso, usando transferidor ou construindo o ângulo com régua+compasso, marque a direção do raio. - Com o compasso, a partir de
marque o ponto sobre esse raio tal que . Então tem coordenadas .
Passo 6
Obter a abscissa
projetada no eixo
:
- Traçar a horizontal por
até cortar o eixo em . Esse ponto tem coordenada . (Explicação: a horizontal por tem a mesma coordenada de , e sua interseção com o eixo tem , logo fica exatamente sob .)
Passo 7
Escalar a abscissa
para
usando semelhança (passo essencial com régua com escala):
- Escolha um semirreta qualquer a partir de
(fora dos eixos). Nessa semirreta marque dois pontos e de modo que e . (Coloque primeiro mais longe com e mais perto com .) - Una
ao ponto (feito no passo anterior). - Traçar por
uma reta paralela a . Essa paralela corta o eixo em . - Pela semelhança de triângulos, obtém-se
logo
é o ponto
desejado. (Comentário prático: cuidado ao marcar exatamente
e
com o compasso.)
Passo 8
Elevar a abscissa escalada até a ordenada correta para obter o ponto da elipse:
- Traçar a vertical por
. Essa vertical intersecta a horizontal por (traçada no passo 6) num ponto . - O ponto
tem coordenadas , ou seja, é um ponto da elipse correspondente ao ângulo .
Passo 9
Repetir para vários ângulos e usar simetrias:
- Repita os passos 5 a 8 para várias escolhas de
compreendendo um quarto do círculo, por exemplo para . - Use as simetrias da elipse: a elipse é simétrica em relação aos eixos
e . Com os pontos do primeiro quadrante obtidos você pode refletir para obter os pontos nos outros quadrantes sem refazer toda a construção (reflexão em e ). - Quanto mais pontos construir, mais preciso fica o contorno.
Passo 10
Traçar a curva contínua:
- Após ter um conjunto suficiente de pontos em todos os quadrantes, una-os suavemente com lápis (curva à mão livre cuidadosamente) ou use uma régua curva se houver. Evite segmentos retos abruptos; a elipse é uma curva suave e deve parecer contínua sem cantos.
Passo 11
Por que esse procedimento funciona (resumo conceitual amigável):
- Foi usado que um ponto do círculo de raio
com ângulo (medido do eixo ) é . - Reduzindo somente a componente
por um fator (escala horizontal), obtém-se , que satisfaz exatamente a equação da elipse. - Geometricamente, a escala horizontal foi feita com semelhança de triângulos (passo 7), procedimento clássico realizável com régua com escala e compasso.
Passo 12
Dicas práticas e erros comuns:
- Verifique duas vezes as medidas
e quando marcar e . Inverter e na semelhança dá o fator inverso e ponto errado. - É mais eficiente calcular pontos para
no intervalo e usar as quatro simetrias. - Perto dos vértices (pontos
e ) a curvatura muda rápido: use mais pontos nesses trechos para um desenho fiel.
Resposta
Roteiro resumido: para cada
(a partir do eixo
, anti-horário) marque no raio de ângulo
o ponto
com
; projete horizontalmente
no eixo
para obter
; numa semirreta qualquer marque pontos com distâncias
e
, una
a
e trace por
a paralela a
para cortar o eixo
em
com
; trace a vertical por
e intersecte-a com a horizontal por
para obter
, ponto da elipse; repita para vários
e use simetrias para completar a curva.