Escreva um roteiro para construir, com compasso e régua com escala, a elipse com equação \frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1, \operatorname{com} b<a.
Sugestão: escolha o ângulo \theta medido a partir do eixo y no sentido anti-horário e se inspire no roteiro dado nesta aula.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos: construir com compasso e régua com escala a elipse de equação
\frac{x^{2}}{b^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}}=1,
com \,b<a. Vou escolher um ângulo \theta medido a partir do eixo y no sentido anti-horário (ou seja, \theta=0 corresponde ao ponto (0,a) no eixo y). O objetivo final é traçar vários pontos da elipse para depois ligá-los suavemente.

Passo 2

Idéia matemática simples por trás da construção (explicação curta e necessária):
  • Uma parametrização conveniente, medindo \theta a partir do eixo y, é
x=b\sin\theta,\qquad y=a\cos\theta.
  • Verificação rápida: substituindo na equação da elipse dá
\frac{(b\sin\theta)^{2}}{b^{2}}+\frac{(a\cos\theta)^{2}}{a^{2}}=\sin^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1,
logo cada par (b\sin\theta,\;a\cos\theta) está na elipse. A construção vai obter geometricamente esses pontos.

Passo 3

Idéia prática para o instrumento (o “truque” geométrico):
  • Constrói-se primeiro um círculo de raio a centrado em O. Um ponto sobre esse círculo correspondente ao mesmo ângulo \theta (medido a partir do eixo y) tem coordenadas (a\sin\theta,\;a\cos\theta).
  • Para chegar ao ponto da elipse mantém-se a mesma ordenada y=a\cos\theta e escala-se a abscissa x multiplicando a\sin\theta por b/a. Ou seja, a partir do ponto do círculo aplica-se um fator de escala horizontal b/a. Esse fator é obtido por um passo de semelhança de triângulos usando a régua com escala.

Passo 4

Materiais e preparação do sistema de referência:
  • Traçar com régua dois eixos perpendiculares x (horizontal) e y (vertical) com origem O.
  • Com compasso marcar no eixo y o ponto A tal que OA=a (positivo para cima) e marcar no eixo x o ponto B tal que OB=b (positivo para a direita). Esses segmentos são os semi-eixos.
  • Desenhar o círculo de centro O e raio a. Esse círculo serve para localizar o ponto correspondente ao ângulo \theta.

Passo 5

Como localizar, no círculo, o ponto que corresponde ao ângulo \theta medido a partir do eixo y:
  • A partir do eixo y traçar o raio que faz ângulo \theta no sentido anti-horário. Para isso, usando transferidor ou construindo o ângulo com régua+compasso, marque a direção do raio.
  • Com o compasso, a partir de O marque o ponto C sobre esse raio tal que OC=a. Então C tem coordenadas (a\sin\theta,\;a\cos\theta).

Passo 6

Obter a abscissa a\sin\theta projetada no eixo x:
  • Traçar a horizontal por C até cortar o eixo x em A. Esse ponto A tem coordenada A=(a\sin\theta,0). (Explicação: a horizontal por C tem a mesma coordenada y de C, e sua interseção com o eixo x tem y=0, logo fica exatamente sob C.)

Passo 7

Escalar a abscissa OA=a\sin\theta para OA' = b\sin\theta usando semelhança (passo essencial com régua com escala):
  • Escolha um semirreta qualquer a partir de O (fora dos eixos). Nessa semirreta marque dois pontos S e R de modo que OS=a e OR=b. (Coloque primeiro S mais longe com OS=a e R mais perto com OR=b.)
  • Una S ao ponto A (feito no passo anterior).
  • Traçar por R uma reta paralela a SA. Essa paralela corta o eixo x em A'.
  • Pela semelhança de triângulos, obtém-se
OA' = OA\cdot\frac{OR}{OS}=a\sin\theta\cdot\frac{b}{a}=b\sin\theta,
logo A' é o ponto (b\sin\theta,0) desejado. (Comentário prático: cuidado ao marcar exatamente OS=a e OR=b com o compasso.)

Passo 8

Elevar a abscissa escalada até a ordenada correta para obter o ponto da elipse:
  • Traçar a vertical por A'. Essa vertical intersecta a horizontal por C (traçada no passo 6) num ponto E.
  • O ponto E tem coordenadas (b\sin\theta,\;a\cos\theta), ou seja, é um ponto da elipse correspondente ao ângulo \theta.

Passo 9

Repetir para vários ângulos e usar simetrias:
  • Repita os passos 5 a 8 para várias escolhas de \theta compreendendo um quarto do círculo, por exemplo para \theta\in\{0^\circ,10^\circ,20^\circ,\dots,90^\circ\}.
  • Use as simetrias da elipse: a elipse é simétrica em relação aos eixos x e y. Com os pontos do primeiro quadrante obtidos você pode refletir para obter os pontos nos outros quadrantes sem refazer toda a construção (reflexão em x e y).
  • Quanto mais pontos construir, mais preciso fica o contorno.

Passo 10

Traçar a curva contínua:
  • Após ter um conjunto suficiente de pontos em todos os quadrantes, una-os suavemente com lápis (curva à mão livre cuidadosamente) ou use uma régua curva se houver. Evite segmentos retos abruptos; a elipse é uma curva suave e deve parecer contínua sem cantos.

Passo 11

Por que esse procedimento funciona (resumo conceitual amigável):
  • Foi usado que um ponto do círculo de raio a com ângulo \theta (medido do eixo y) é (a\sin\theta,\;a\cos\theta).
  • Reduzindo somente a componente x por um fator b/a (escala horizontal), obtém-se (b\sin\theta,\;a\cos\theta), que satisfaz exatamente a equação da elipse.
  • Geometricamente, a escala horizontal foi feita com semelhança de triângulos (passo 7), procedimento clássico realizável com régua com escala e compasso.

Passo 12

Dicas práticas e erros comuns:
  • Verifique duas vezes as medidas a e b quando marcar OS e OR. Inverter a e b na semelhança dá o fator inverso e ponto errado.
  • É mais eficiente calcular pontos para \theta no intervalo [0^\circ,90^\circ] e usar as quatro simetrias.
  • Perto dos vértices (pontos (0,\pm a) e (\pm b,0)) a curvatura muda rápido: use mais pontos nesses trechos para um desenho fiel.

Resposta

Roteiro resumido: para cada \theta (a partir do eixo y, anti-horário) marque no raio de ângulo \theta o ponto C com OC=a; projete horizontalmente C no eixo x para obter A=(a\sin\theta,0); numa semirreta qualquer marque pontos com distâncias OR=b e OS=a, una S a A e trace por R a paralela a SA para cortar o eixo x em A' com OA'=b\sin\theta; trace a vertical por A' e intersecte-a com a horizontal por C para obter E=(b\sin\theta,a\cos\theta), ponto da elipse; repita para vários \theta e use simetrias para completar a curva.

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