Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
.
Passo 1
O enunciado pede para identificar o subconjunto do plano dado pela equação
Se o conjunto for uma elipse, também pede para determinar as coordenadas do centro, os vértices e os focos. As informações dadas são apenas a equação acima com as variáveis
e
.
Passo 2
Primeiro vamos organizar os termos por variáveis para facilitar completar quadrados. Agrupando
e
obtemos:
Factorizamos o coeficiente de
para deixar o quadrado em evidência:
Passo 3
Agora aplicamos o processo de completar o quadrado em cada par de termos. Lembre que completar o quadrado para
dá
. Aqui em
temos
então
. Assim:
Multiplicando por
voltamos à parte dos
:
Passo 4
Para
usamos a mesma ideia: aqui
então
. Assim
Substituindo ambos completamentos na equação original:
Somando as constantes
obtemos
, portanto a equação fica simplesmente
Passo 5
Observe que para todo
vale
e
. Então a soma ponderada
é sempre
. Para que a soma seja igual a
, cada termo não negativo deve ser zero. Logo
Isto implica
e
, ou seja
e
.
Passo 6
Portanto o conjunto
é formado por um único ponto:
Em termos de cônicas, a equação original é a forma de uma elipse degenerada (o caso em que os semi-eixos são nulos), pois pode ser escrita de modo análogo a uma soma de quadrados igual a uma constante; nesse caso a constante é
, o que reduz a elipse a um ponto.
Passo 7
Se quisermos expressar os dados pedidos no caso de elipse (mesmo sendo degenerada), temos:
- Centro: o ponto onde os quadrados estão centrados, isto é
. - Semi-eixos: ambos são
(não existe elipse com eixos positivos aqui). - Vértices: todos coincidem com o centro, isto é
. - Focos: também coincidem com o centro, isto é
.
Resposta
O conjunto é o ponto
.
Centro da elipse (degenerada): .
Vértices: .
Focos: .
Centro da elipse (degenerada):
Vértices:
Focos: