Identifique os seguintes subconjuntos do plano e, no caso de ser uma elipse, determine as coordenadas do centro, vértices e focos:
\mathcal{C}=\left\{(x, y) \mid 16 x^{2}+64 x+y^{2}-4 y+68=0\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para identificar o subconjunto do plano dado pela equação
16x^{2}+64x+y^{2}-4y+68=0.
Se o conjunto for uma elipse, também pede para determinar as coordenadas do centro, os vértices e os focos. As informações dadas são apenas a equação acima com as variáveis x e y.

Passo 2

Primeiro vamos organizar os termos por variáveis para facilitar completar quadrados. Agrupando x e y obtemos:
16x^{2}+64x+y^{2}-4y+68=0.
Factorizamos o coeficiente de x^{2} para deixar o quadrado em evidência:
16\bigl(x^{2}+4x\bigr)+\bigl(y^{2}-4y\bigr)+68=0.

Passo 3

Agora aplicamos o processo de completar o quadrado em cada par de termos. Lembre que completar o quadrado para x^{2}+2px (x+p)^{2}-p^{2}. Aqui em x^{2}+4x temos 2p=4 então p=2. Assim:
x^{2}+4x=(x+2)^{2}-2^{2}=(x+2)^{2}-4.
Multiplicando por 16 voltamos à parte dos x:
16\bigl(x^{2}+4x\bigr)=16\bigl((x+2)^{2}-4\bigr)=16(x+2)^{2}-64.

Passo 4

Para y^{2}-4y usamos a mesma ideia: aqui 2p=-4 então p=-2. Assim
y^{2}-4y=(y-2)^{2}-2^{2}=(y-2)^{2}-4.
Substituindo ambos completamentos na equação original:
16(x+2)^{2}-64+(y-2)^{2}-4+68=0.
Somando as constantes -64-4+68 obtemos 0, portanto a equação fica simplesmente
16(x+2)^{2}+(y-2)^{2}=0.

Passo 5

Observe que para todo x,y vale (x+2)^{2}\ge 0 e (y-2)^{2}\ge 0. Então a soma ponderada
16(x+2)^{2}+(y-2)^{2}
é sempre \ge 0. Para que a soma seja igual a 0, cada termo não negativo deve ser zero. Logo
16(x+2)^{2}=0\quad\text{e}\quad (y-2)^{2}=0.
Isto implica x+2=0 e y-2=0, ou seja x=-2 e y=2.

Passo 6

Portanto o conjunto \mathcal{C} é formado por um único ponto:
\mathcal{C}=\{(-2,2)\}.
Em termos de cônicas, a equação original é a forma de uma elipse degenerada (o caso em que os semi-eixos são nulos), pois pode ser escrita de modo análogo a uma soma de quadrados igual a uma constante; nesse caso a constante é 0, o que reduz a elipse a um ponto.

Passo 7

Se quisermos expressar os dados pedidos no caso de elipse (mesmo sendo degenerada), temos:
  • Centro: o ponto onde os quadrados estão centrados, isto é (-2,2).
  • Semi-eixos: ambos são 0 (não existe elipse com eixos positivos aqui).
  • Vértices: todos coincidem com o centro, isto é (-2,2).
  • Focos: também coincidem com o centro, isto é (-2,2).

Resposta

O conjunto é o ponto (-2,2).
Centro da elipse (degenerada): (-2,2).
Vértices: (-2,2).
Focos: (-2,2).

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