Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
3 y(y d x+3 x d y)=2 x^2(3 y d x+2 x d y)

Passo 1

O enunciado pede para escrever a EDO
3yl(y,dx+3x,dyr)=2x^2l(3y,dx+2x,dyr)
na forma exata e, em seguida, encontrar sua solução geral. Vamos usar o método de equações exatas, buscando um fator integrante se necessário.

Passo 2

Expanda e coloque na forma
M(x,y),dx+N(x,y),dy=0
Temos
3y^2,dx+9xy,dy-6x^2y,dx-4x^3,dy=0,
logo
M(x,y)=3y^2-6x^2y, N(x,y)=9xy-4x^3

Passo 3

Calcule as derivadas parciais:
partial Mpartial y=6y-6x^2, partial Npartial x=9y-12x^2
Como partial M/partial yneqpartial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante mu(y). Verifique
partial Npartial x-partial Mpartial yM =(9y-12x^2)-(6y-6x^2)3y^2-6x^2y =3y-6x^23y(y-2x^2) =1y,
que depende só de y. Logo
mu(y)=exp!l(integral1y,dyr)=y
Multiplicando, obtemos a equação exata
(3y^3-6x^2y^2),dx+(9xy^2-4x^3y),dy=0

Passo 5

Encontre Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x=3y^3-6x^2y^2
Integrando em x:
Psi(x,y)=3x y^3-2x^3y^2+h(y)
Então
partial Psipartial y=9xy^2-4x^3y+h'(y)
igual a 9xy^2-4x^3y implica h'(y)=0. Assim
Psi(x,y)=3x y^3-2x^3y^2=C

Resposta

A solução geral é
3x y^3-2x^3y^2=C,
ou equivalentemente
x y^2(3y-2x^2)=C

Exercícios relacionados