Use adefinição de limite para mostrar que:
lim (x, y) (1,-1)(4 x-2 y)=6

Passo 1

O enunciado pede provar usando a definição de limite (épsilon–delta) que
lim(x,y)to(1,-1)(4x-2y)=6
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e usaremos: para todo varepsilon>0 existe de<a>0 tal que, se
0<raiz(x-1)^2+(y+1)^2<de<a,
então
|4x-2y-6|<varepsilon

Passo 2

Começamos manipulando a expressão que queremos tornar pequena:
|4x-2y-6| = |4(x-1) - 2(y+1)| <= 4|x-1| + 2|y+1|

Passo 3

Da condição
0<raiz(x-1)^2+(y+1)^2<de<a
segue que |x-1|<de<a e |y+1|<de<a. Logo,
|4x-2y-6|<= 4de<a + 2de<a = 6de<a

Passo 4

Queremos 6de<a<varepsilon. Basta escolher
de<a = varepsilon6
Então, sempre que 0<raiz(x-1)^2+(y+1)^2<de<a, teremos
|4x-2y-6|<= 6de<a = varepsilon,
o que encerra a prova.

Resposta

lim(x,y)to(1,-1)(4x-2y)=6

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