Exercício 17. Mostre que S^1 subset R^2 é uma superfície orientável.

Passo 1

O enunciado quer que a gente mostre que a circunferência unitária
S^1 = (x,y)inR^2 mid x^2+y^2=1
é uma variedade unidimensional orientável.
Para isso, vamos usar o fato de que, em dimensões 1, basta exibir um campo tangente suave e nunca nulo para definir uma orientação global.

Passo 2

Definimos o campo tangente
Tcolon S^1 to TR^2, T(x,y) = (-y,,x)
Primeiro, vemos que T(x,y) é tangente a S^1 porque
lang<= T(x,y),,(x,y)rang<= = (-y),x + x,y = 0,
ou seja, T(x,y) é ortogonal ao vetor normal (x,y) da circunferência.

Passo 3

Verificamos que T é suave e nunca se anula: como (x,y)inS^1 satisfaz x^2+y^2=1, temos
|T(x,y)| = raiz(-y)^2 + x^2 = raizy^2 + x^2 = 1,
logo T(x,y)neq0 para todo ponto. A suavidade vem do fato de que (x,y)mapsto(-y,x) é uma aplicação linear (e portanto C^infty) em R^2, restringida à S^1.

Passo 4

Em variedades de dimensão ,1, fornecer um campo vetorial tangente suavemente variante e sem zeros já orienta globalmente a variedade: basta declarar que, em cada ponto, o sentido de T é o “positivo”. Assim obtemos uma orientação contínua e suave em toda S^1.

Resposta

Como exibimos um campo tangente suave não nulo em toda a circunferência, concluímos que S^1 é uma superfície (variedade de dimensão 1) orientável.

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