Exercício 17. Mostre que
é uma superfície orientável.
Passo 1
O enunciado quer que a gente mostre que a circunferência unitária
é uma variedade unidimensional orientável.
Para isso, vamos usar o fato de que, em dimensões , basta exibir um campo tangente suave e nunca nulo para definir uma orientação global.
é uma variedade unidimensional orientável.
Para isso, vamos usar o fato de que, em dimensões
Passo 2
Definimos o campo tangente
Primeiro, vemos que
é tangente a
porque
ou seja,
é ortogonal ao vetor normal
da circunferência.
Passo 3
Verificamos que
é suave e nunca se anula: como
satisfaz
, temos
logo
para todo ponto. A suavidade vem do fato de que
é uma aplicação linear (e portanto
) em
, restringida à
.
Passo 4
Em variedades de dimensão
, fornecer um campo vetorial tangente suavemente variante e sem zeros já orienta globalmente a variedade: basta declarar que, em cada ponto, o sentido de
é o “positivo”. Assim obtemos uma orientação contínua e suave em toda
.
Resposta
Como exibimos um campo tangente suave não nulo em toda a circunferência, concluímos que
é uma superfície (variedade de dimensão
) orientável.