Escreva as seguintes edo’s na forma exata e em seguida encontre a solução geral de cada uma delas:
3 x y d x+2 x^2 d y=6 y^3 d x+12 x y^2 d y.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
3,x,y,dx + 2,x^2,dy = 6,y^3,dx + 12,x,y^2,dy
O conteúdo aqui é transformação em equação exata e uso de fator integrante do tipo mu(x,y)=x^my^n.

Passo 2

Reescrevendo na forma
M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0
subtraindo o segundo membro do primeiro, obtemos
l(3xy - 6y^3r),dx + l(2x^2 - 12xy^2r),dy = 0
Logo
M(x,y) = 3xy - 6y^3, N(x,y) = 2x^2 - 12xy^2

Passo 3

Verificamos exatidão calculando
partial Mpartial y = 3x - 18y^2, partial Npartial x = 4x - 12y^2
Como partial M/partial y neq partial N/partial x, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante mu(x,y)=x^my^n que satisfaça
partialpartial y(mu M) = partialpartial x(mu N)
Isso leva ao sistema linear em m,n:
3n - 2m = 1, n - 2m = -1,
cuja solução é m=1, n=1. Portanto
mu(x,y) = x,y

Passo 5

Multiplicando toda a equação por mu=x y, temos
tilde M(x,y) = (3xy - 6y^3),(xy) = 3x^2y^2 - 6x,y^4,
tilde N(x,y) = (2x^2 - 12xy^2),(xy) = 2x^3y - 12x^2y^3,
e a equação
tilde M,dx + tilde N,dy = 0
é exata, pois
partial tilde Mpartial y =6x^2y -24x,y^3 =partial tilde Npartial x

Passo 6

Procuramos psi(x,y) tal que
psix = tilde M e psiy = tilde N.
Integrando em x:
psi(x,y) =integrall(3x^2y^2-6x,y^4r),dx =y^2x^3-3x^2y^4+h(y)
Derivando em y e igualando a tilde N h'(y)=0, logo h(y)=C.

Passo 7

A solução geral implícita é
psi(x,y)=y^2x^3-3x^2y^4=C

Resposta

y^2x^3 ;-; 3x^2y^4 ;=; C

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