Escreva as seguintes funções como combinações de funções degrau.
f(t)=\left\{\begin{array}{lll}t, & \text { se } & t \in[0,1) \\\ t+2, & \text { se } & t \in[1, \infty)\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado define a função
f(t)= \begin{cases} t, & t\in[0,1),\\\ t+2, & t\in[1,\infty), \end{cases}
e pede para escrevê-la como combinação de funções degrau u(t)\). Vamos usar que \[u(t-a)= \begin{cases} 0, & t<a,\\\\ 1, & t\ge a, \end{cases}
para separar os trechos da definição de (f(t)].

Passo 2

Represente o trecho em [0,1) multiplicando t pelo intervalo ativo [0,1), que é dado por
u(t)-u(t-1).
Logo, a contribuição desse trecho é
f_1(t)=t\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr].

Passo 3

Para o trecho em [1,\infty), usamos o degrau que “liga” em t=1, isto é u(t-1). A função ali vale t+2, então
f_2(t)=(t+2)\,u(t-1).

Passo 4

Somando as duas contribuições, obtemos
f(t)=f_1(t)+f_2(t) =t\bigl[u(t)-u(t-1)\bigr]+(t+2)\,u(t-1).
Agora simplificamos:
t\,u(t)-t\,u(t-1)+t\,u(t-1)+2\,u(t-1) =t\,u(t)+2\,u(t-1).

Resposta

\boxed{f(t)=t\,u(t)+2\,u(t-1).}

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