Escreva os seguintes números complexos na forma polar
;
Passo 1
O enunciado pede que escrevamos o número complexo
na forma polar.
Informações dadas: o número complexo a ser convertido é (soma de dois termos iguais).
Informações dadas: o número complexo a ser convertido é
Passo 2
Primeiro simplificamos a soma algebraicamente para ver qual é o número complexo em sua forma retangular (a + bi).
Como ambos os termos são , temos
Como ambos os termos são
Isso significa que, em coordenadas, o número é
— parte real
e parte imaginária
.
Passo 3
Agora uma breve aula sobre forma polar para você não se perder na prova.
- Definição: a forma polar (ou trigonométrica) de um número complexo
é
onde
é o módulo e
é o argumento. Também é comum usar a forma exponencial
- O módulo
mede o comprimento do vetor que representa no plano e é dado por
onde
e
são, respectivamente, as partes real e imaginação do número
.
- O argumento
é o ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo. Para pontos com a gente usa
mas sempre ajustando o resultado para o quadrante correto. Para os casos especiais com
, determinamos
diretamente observando se
(então
) ou
(então
ou
), porque
não está definida com
.
- Observação prática: existe ambiguidade de ângulo porque adicionar
( ) dá o mesmo ponto no plano. Normalmente usamos o argumento principal ou .
Passo 4
Calcular o módulo de
. Aqui
e
, então
Expliquei passo a passo: elevou-se ao quadrado cada componente, somou e tirou a raiz quadrada — isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo vetor no plano.
Passo 5
Determinar o argumento de
. Como
e
, o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário positivo. Geometricamente, isso corresponde ao ângulo de
(90 graus) medido a partir do eixo real positivo. Portanto
Comentário: não usamos
aqui porque dividir por zero dá problema; em vez disso observamos a posição no plano.
Passo 6
Montar a forma polar trigonométrica e a forma exponencial usando os valores encontrados. Substituindo
e
, obtemos
e, em forma exponencial,
Passo 7
Verificação rápida (para você conferir na prova):
e
, então
confirmando que a conversão está correta.