Escreva os seguintes números complexos na forma polar
i+i;

Passo 1

O enunciado pede que escrevamos o número complexo i+i na forma polar.
Informações dadas: o número complexo a ser convertido é i+i (soma de dois termos iguais).

Passo 2

Primeiro simplificamos a soma algebraicamente para ver qual é o número complexo em sua forma retangular (a + bi).
Como ambos os termos são i, temos
i+i=2i.
Isso significa que, em coordenadas, o número é (a,b)=(0,2) — parte real a=0 e parte imaginária b=2.

Passo 3

Agora uma breve aula sobre forma polar para você não se perder na prova.
  • Definição: a forma polar (ou trigonométrica) de um número complexo z é
z = r\bigl(\cos\theta + i\sin\theta\bigr),
onde r é o módulo e \theta é o argumento. Também é comum usar a forma exponencial
z = r e^{i\theta}.
  • O módulo r mede o comprimento do vetor que representa z no plano e é dado por
r=\sqrt{a^{2}+b^{2}},
onde a e b são, respectivamente, as partes real e imaginação do número z=a+bi.
  • O argumento \theta é o ângulo que o vetor faz com o eixo real positivo. Para pontos com a\neq0 a gente usa
\theta=\arctan\!\left(\frac{b}{a}\right),
mas sempre ajustando o resultado para o quadrante correto. Para os casos especiais com a=0, determinamos \theta diretamente observando se b>0 (então \theta=\tfrac{\pi}{2}) ou b<0 (então \theta=-\tfrac{\pi}{2} ou \tfrac{3\pi}{2}), porque \arctan não está definida com a=0.
  • Observação prática: existe ambiguidade de ângulo porque adicionar 2k\pi ( k\in\mathbb{Z}) dá o mesmo ponto no plano. Normalmente usamos o argumento principal \theta\in(-\pi,\pi] ou [0,2\pi).

Passo 4

Calcular o módulo de 2i. Aqui a=0 e b=2, então
r=\sqrt{0^{2}+2^{2}}=\sqrt{4}=2.
Expliquei passo a passo: elevou-se ao quadrado cada componente, somou e tirou a raiz quadrada — isso vem do teorema de Pitágoras aplicado ao triângulo formado pelo vetor no plano.

Passo 5

Determinar o argumento de 2i. Como a=0 e b=2>0, o ponto está exatamente sobre o eixo imaginário positivo. Geometricamente, isso corresponde ao ângulo de \tfrac{\pi}{2} (90 graus) medido a partir do eixo real positivo. Portanto
\theta=\frac{\pi}{2}.
Comentário: não usamos \arctan(b/a) aqui porque dividir por zero dá problema; em vez disso observamos a posição no plano.

Passo 6

Montar a forma polar trigonométrica e a forma exponencial usando os valores encontrados. Substituindo r=2 e \theta=\tfrac{\pi}{2}, obtemos
2i = 2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{2} + i\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr)
e, em forma exponencial,
2i = 2 e^{i\frac{\pi}{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (para você conferir na prova): \cos\tfrac{\pi}{2}=0 e \sin\tfrac{\pi}{2}=1, então
2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{2} + i\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr)=2(0+i\cdot1)=2i,
confirmando que a conversão está correta.

Resposta

2\bigl(\cos\!\tfrac{\pi}{2} + i\sin\!\tfrac{\pi}{2}\bigr)
2e^{i\frac{\pi}{2}}
2\bigl(\cos\!(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi) + i\sin\!(\tfrac{\pi}{2}+2k\pi)\bigr),\;k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados