Exercício 0.6 Determine quatro números complexos tais que
.
Passo 1
O enunciado pede: encontrar quatro números complexos
tais que
.\n
Informações dadas (explicitando tudo que temos): é um número real negativo; queremos todas as soluções complexas (provavelmente as quatro raízes quartas) que satisfeçam
.\n
Nada mais foi dado — a ideia é escrever em forma polar e usar a fórmula das raízes de um número complexo para
.
Informações dadas (explicitando tudo que temos):
Nada mais foi dado — a ideia é escrever
Passo 2
Conceitos necessários (passo-a-passo didático e curtinho):
- Todo número complexo
pode ser escrito em forma polar como ou, de forma equivalente pela fórmula de Euler, , onde:
é o módulo (distância ao zero) e é o argumento (ângulo com o eixo real). - A operação de elevar à potência
em forma polar fica simples: (essa é a fórmula de De Moivre). - Para achar as
-ésimas raízes de um número , usamos a fórmula porque o argumento pode ser somado a sem mudar o número complexo original.
Passo 3
Escrever
em forma polar (detalhar cada peça):
- O módulo é
. - Um argumento conveniente é
(porque está no eixo real negativo, que corresponde a radianos). Lembre que poderíamos usar mas isso é tratado pela soma na fórmula das raízes.
Portanto
Passo 4
Aplicar a fórmula das
-ésimas raízes com
,
e
:
Isso nos dá quatro argumentos distintos, separados por
(ou
), como era de se esperar para as quatro raízes igualmente espaçadas no círculo de raio
.
Passo 5
Calcular explicitamente os ângulos para cada
e escrever em forma trigonométrica:
- Para
: ângulo . Logo - Para
: ângulo . Logo - Para
: ângulo . Logo - Para
: ângulo . Logo
Passo 6
Converter para forma retangular (mais prática na prova) e simplificar:
Sabemos ; os valores para os outros quadrantes são as mesmas magnitudes com sinais apropriados. Assim:
Sabemos
-
. -
. -
. -
.
Agora simplificamos o fator:
. Portanto cada raiz fica numa forma bem bonita:
-
. -
. -
. -
.
Observação rápida de simplificação: esse tipo de fatorar é útil na prova porque deixa tudo em termos de potências de
combinadas com números inteiros simples.
Passo 7
Verificação rápida (faça isso na prova para garantir que não errou):
Escolho . Então
Escolho
logo
Como
, temos
o que confirma que
funciona; argumentos idênticos valem para os demais por simetria.