Exercício 0.6 Determine quatro números complexos tais que z^{4}=-2.

Passo 1

O enunciado pede: encontrar quatro números complexos z tais que \;z^{4}=-2.\n
Informações dadas (explicitando tudo que temos): \;-2 é um número real negativo; queremos todas as soluções complexas (provavelmente as quatro raízes quartas) que satisfeçam \;z^{4}=-2.\n
Nada mais foi dado — a ideia é escrever -2 em forma polar e usar a fórmula das raízes de um número complexo para n=4.

Passo 2

Conceitos necessários (passo-a-passo didático e curtinho):
  • Todo número complexo z pode ser escrito em forma polar como \;z = r(\cos\theta + i\sin\theta) ou, de forma equivalente pela fórmula de Euler, \;z = r e^{i\theta}, onde:
    \;r=\lvert z\rvert é o módulo (distância ao zero) e \;\theta=\arg(z) é o argumento (ângulo com o eixo real).
  • A operação de elevar à potência n em forma polar fica simples: \;(r e^{i\theta})^{n} = r^{n} e^{i n\theta} (essa é a fórmula de De Moivre).
  • Para achar as n-ésimas raízes de um número w=R e^{i\Theta}, usamos a fórmula z_{k} = R^{1/n} e^{i\left(\frac{\Theta+2\pi k}{n}\right)},\qquad k=0,1,\dots,n-1,porque o argumento pode ser somado a 2\pi k sem mudar o número complexo original.

Passo 3

Escrever -2 em forma polar (detalhar cada peça):
  • O módulo é \;R=\lvert -2\rvert=2.
  • Um argumento conveniente é \;\Theta=\pi (porque -2 está no eixo real negativo, que corresponde a 180^\circ=\pi radianos). Lembre que poderíamos usar \Theta=\pi+2\pi m mas isso é tratado pela soma 2\pi k na fórmula das raízes.
    Portanto
-2 = 2 e^{i\pi}.

Passo 4

Aplicar a fórmula das n-ésimas raízes com n=4, R=2 e \Theta=\pi:
z_{k} = 2^{1/4} e^{i\left(\frac{\pi+2\pi k}{4}\right)} = 2^{1/4}\,e^{i\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2}\right)},\qquad k=0,1,2,3.
Isso nos dá quatro argumentos distintos, separados por \pi/2 (ou 90^\circ), como era de se esperar para as quatro raízes igualmente espaçadas no círculo de raio 2^{1/4}.

Passo 5

Calcular explicitamente os ângulos para cada k e escrever em forma trigonométrica:
  • Para k=0: ângulo \frac{\pi}{4}. Logo z_{0}=2^{1/4}\big(\cos\frac{\pi}{4}+i\sin\frac{\pi}{4}\big).
  • Para k=1: ângulo \frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{4}. Logo z_{1}=2^{1/4}\big(\cos\frac{3\pi}{4}+i\sin\frac{3\pi}{4}\big).
  • Para k=2: ângulo \frac{\pi}{4}+\pi=\frac{5\pi}{4}. Logo z_{2}=2^{1/4}\big(\cos\frac{5\pi}{4}+i\sin\frac{5\pi}{4}\big).
  • Para k=3: ângulo \frac{\pi}{4}+\frac{3\pi}{2}=\frac{7\pi}{4}. Logo z_{3}=2^{1/4}\big(\cos\frac{7\pi}{4}+i\sin\frac{7\pi}{4}\big).

Passo 6

Converter para forma retangular (mais prática na prova) e simplificar:
Sabemos \cos\frac{\pi}{4}=\sin\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}; os valores para os outros quadrantes são as mesmas magnitudes com sinais apropriados. Assim:
  • z_{0}=2^{1/4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • z_{1}=2^{1/4}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}+i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • z_{2}=2^{1/4}\left(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
  • z_{3}=2^{1/4}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2}\right).
Agora simplificamos o fator: 2^{1/4}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2} = 2^{1/4}\cdot\frac{2^{1/2}}{2} = 2^{3/4-1}=2^{-1/4}. Portanto cada raiz fica numa forma bem bonita:
  • z_{0}=2^{-1/4}(1+i).
  • z_{1}=2^{-1/4}(-1+i).
  • z_{2}=2^{-1/4}(-1-i).
  • z_{3}=2^{-1/4}(1-i).
Observação rápida de simplificação: esse tipo de fatorar é útil na prova porque deixa tudo em termos de potências de 2 combinadas com números inteiros simples.

Passo 7

Verificação rápida (faça isso na prova para garantir que não errou):
Escolho z_{0}=2^{-1/4}(1+i). Então
(1+i)^{2} = 1+2i+i^{2}=2i,
logo
(1+i)^{4} = ( (1+i)^{2} )^{2} = (2i)^{2} = -4.
Como (2^{-1/4})^{4} = 2^{-1}, temos
z_{0}^{4} = 2^{-1}\cdot(-4) = -2,
o que confirma que z_{0} funciona; argumentos idênticos valem para os demais por simetria.

Resposta

\;2^{-1/4}(1+i)
\;2^{-1/4}(-1+i)
\;2^{-1/4}(-1-i)
\;2^{-1/4}(1-i)

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