Escreva os seguintes números complexos sob a forma a+b i :
(-i)^n, n in N.

Passo 1

O enunciado pede para escrever (-i)^n na forma a + b,i para ninN. O conteúdo aqui é o cálculo de potências de um número complexo usando a forma exponencial e a fórmula de Euler.

Passo 2

Começamos observando que -i pode ser escrito em forma exponencial pela fórmula de Euler. Como
-i = e^-,ipi/2,
então elevar à potência n

Passo 3

Pela propriedade de potências de exponenciais complexas (De Moivre), temos
(-i)^n = l(e^-,ipi/2r)^n = e^-,ipi n/2 = cos!l(tfracpi n2r) - i,sin!l(tfracpi n2r)

Passo 4

Da expressão acima identificamos, para todo n,
a = cos!l(tfracpi n2r), b = -,sin!l(tfracpi n2r)

Passo 5

Como cos e sin têm período 2pi, a expressão é periódica de período 4 em n. Assim, para os resíduos de n módulo 4:
Para nequiv0pmod4: (-i)^n = 1 + 0,i.
Para nequiv1pmod4: (-i)^n = 0 - 1,i.
Para nequiv2pmod4: (-i)^n = -1 + 0,i.
Para nequiv3pmod4: (-i)^n = 0 + 1,i.

Resposta

(-i)^n = cos!l(tfracpi n2r) - i,sin!l(tfracpi n2r)
Para nequiv0pmod4: (-i)^n=1.
Para nequiv1pmod4: (-i)^n=-i.
Para nequiv2pmod4: (-i)^n=-1.
Para nequiv3pmod4: (-i)^n=i.

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