Escreva os seguintes números complexos sob a forma polar:
raiz[3]i.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as raízes cúbicas do número complexo i e escrevê-las em forma polar. O conteúdo envolvido é a representação de um número complexo em forma exponencial/polar e a fórmula de De Moivre para raízes.

Passo 2

Primeiro, escrevemos i em forma polar. O módulo de i é 1 e seu argumento principal é tfracpi2, pois
i = expl(itfracpi2r)

Passo 3

Para obter as raízes de ordem n de um número complexo
re^,itheta, usamos a fórmula
zk = r^1/n,exp!l(itheta + 2pi knr),
onde k=0,1,dots,n-1.

Passo 4

Aqui temos n=3, r=1 e theta=tfracpi2. Logo as três raízes cúbicas de i são
zk = exp!l(itfracpi2+2pi k3r) = exp!l(il(tfracpi6 + tfrac2pi k3r)r), k=0,1,2

Passo 5

Escrevendo cada uma explicitamente:
z0 = expl(itfracpi6r), z1 = expl(itfrac5pi6r), z2 = expl(itfrac9pi6r) = expl(itfrac3pi2r)

Resposta

raiz[3]i = exp!l(il(tfracpi6 + tfrac2pi k3r)r), com k=0,1,2.

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