Dê, se possível, exemplos de:
Dois subespaços (W_{1}) e (W_{2}) do (\mathbb{R}^{5}), tais que (\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)=3) e (W_{1} \oplus W_{2}).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar dois subespaços W1,W2subseteqR^5 tais que
dim(W1)=dim(W2)=3
e
W1oplus W2=R^5.
O conteúdo envolve a definição de soma direta de subespaços e o teorema da dimensão para soma de subespaços.

Passo 2

Lembremos a definição:
W1oplus W2=W1+W2 com a condição adicional
W1cap W2=0
Para que W1oplus W2=R^5, precisamos de duas coisas:
  1. W1+W2=R^5.
  2. W1cap W2=0

Passo 3

Aplique o teorema da dimensão para soma de subespaços:
dim(W1+W2) =dim(W1)+dim(W2)-diml(W1cap W2r)
Aqui dim(W1)=3 e dim(W2)=3, logo
dim(W1+W2) =3+3-diml(W1cap W2r) =6-diml(W1cap W2r)

Passo 4

Para ter W1+W2=R^5 é necessário que
dim(W1+W2)=5.
Isto implica
6-diml(W1cap W2r)=5 Longrightarrow diml(W1cap W2r)=1
Por outro lado, a soma é direta somente se
diml(W1cap W2r)=0.
Concluímos que há contradição: não é possível que a interseção tenha dimensão simultaneamente 1 e 0.

Resposta

Não existem subespaços W1,W2subseteqR^5 com dim(W1)=dim(W2)=3 tais que W1oplus W2=R^5, pois a soma de dimensões excederia aquela de R^5.

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