Dê, se possível, exemplos de:
Dois subespaços (W_{1}) e (W_{2}) do (\mathbb{R}^{5}), tais que (\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)=3) e (W_{1} \oplus W_{2}).
Dois subespaços (W_{1}) e (W_{2}) do (\mathbb{R}^{5}), tais que (\operatorname{dim}\left(W_{1}\right)=\operatorname{dim}\left(W_{2}\right)=3) e (W_{1} \oplus W_{2}).
Passo 1
O enunciado pede para encontrar dois subespaços
tais que
e
.
O conteúdo envolve a definição de soma direta de subespaços e o teorema da dimensão para soma de subespaços.
e
O conteúdo envolve a definição de soma direta de subespaços e o teorema da dimensão para soma de subespaços.
Passo 2
Lembremos a definição:
com a condição adicional
Para que , precisamos de duas coisas:
Para que
-
. -
Passo 3
Aplique o teorema da dimensão para soma de subespaços:
Aqui
e
, logo
Passo 4
Para ter
é necessário que
.
Isto implica
Isto implica
Por outro lado, a soma é direta somente se
.
Concluímos que há contradição: não é possível que a interseção tenha dimensão simultaneamente e
.
Concluímos que há contradição: não é possível que a interseção tenha dimensão simultaneamente
Resposta
Não existem subespaços
com
tais que
, pois a soma de dimensões excederia aquela de
.