Escreva os seguintes números complexos sob a forma polar:
(1-i)^n, n in N;

Passo 1

O enunciado pede para escrever (1 - i)^n, com n in N, na forma polar. Para isso, vamos primeiro converter o número complexo base 1 - i da forma retangular para a forma polar (módulo e argumento) e depois usar a fórmula de De Moivre para a potência.

Passo 2

Calculamos o módulo de 1 - i:
lvert 1 - irvert = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz2
Em seguida, o argumento theta satisfaz
tantheta = Im(1 - i)Re(1 - i) = -11 = -1
Como o ponto (1,-1) está no quarto quadrante, theta = -tfracpi4.

Passo 3

Escrevemos então 1 - i em forma polar:
1 - i = raiz2l(cos(-tfracpi4) + isin(-tfracpi4)r)

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de De Moivre, que diz que, se
z = rl(cosphi + isinphir),
então
z^n = r^nl(cos(nphi) + isin(nphi)r)
No nosso caso,
(1 - i)^n = (raiz2)^nl(cos(-tfracnpi4) + isin(-tfracnpi4)r) = 2^tfracn2l(cos(-tfracnpi4) + isin(-tfracnpi4)r)

Passo 5

Opcionalmente, podemos usar a forma exponencial de Euler, pois
cosphi + isinphi = e^iphi. Assim,
(1 - i)^n = 2^tfracn2,e^-inpi4

Resposta

(1 - i)^n = 2^tfracn2l(cos(-tfracnpi4) + isin(-tfracnpi4)r) ou (1 - i)^n = 2^tfracn2,e^-inpi4

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