Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
(d) \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ -4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=13 \\\\ 8 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}=20 \\\\ 20 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=15\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado nos dá o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede que ele seja escrito na forma matricial. As equações fornecidas são (copiei exatamente do enunciado):
O que se pede: escrever esse sistema na forma matricial, ou seja, numa equação do tipo A\mathbf{x}=\mathbf{b} (matriz dos coeficientes vezes vetor de incógnitas igual ao vetor dos termos independentes).]
Passo 2
Vou explicar o que significa escrever um sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, passo a passo e bem devagarinho.
A é a matriz dos coeficientes: cada linha de A contém os coeficientes das incógnitas naquela equação, sempre na mesma ordem de variáveis.
\mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas; aqui a ordem natural é \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.
\mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes (os números à direita do sinal de igual em cada equação).
O produto A\mathbf{x} faz com que cada linha da matriz A seja multiplicada pelo vetor \mathbf{x}, reproduzindo cada equação do sistema.
Também é importante ter atenção a variáveis que não aparecem explicitamente: o coeficiente dessas variáveis naquela equação é zero. Ex.: se uma equação não tem x_{4}, então na linha correspondente o quarto elemento é 0.
Passo 3
Agora extraio os coeficientes de cada equação (sempre na ordem \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,) e os termos independentes (lado direito):
Da primeira equação \;4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=6\; os coeficientes são 4,\,2,\,1,\,0 (peguei o 0 para x_{4} porque x_{4} não aparece) e o termo independente é 6.
Da segunda equação \;-4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=13\; os coeficientes são -4,\,-6,\,1,\,3 e o termo independente é 13.
Da terceira equação \;8 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}=20\; os coeficientes são 8,\,16,\,-3,\,-4 e o termo independente é 20.
Da quarta equação \;20 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=15\; os coeficientes são 20,\,10,\,4,\,-3 e o termo independente é 15.
(Reforçando: esses números foram todos retirados diretamente das equações do enunciado.)
Passo 4
Com os coeficientes organizados em linhas e os termos independentes em um vetor coluna, construo a matriz A, o vetor \mathbf{x} e o vetor \mathbf{b}. Escrevo-os em forma matricial:
Como comentário prático (útil em provas): outra forma equivalente de apresentar é a matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}], que junta A e \mathbf{b} numa única matriz: