Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
(d) \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=6 \\\\ -4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=13 \\\\ 8 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}=20 \\\\ 20 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=15\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema de quatro equações lineares com quatro incógnitas e pede que ele seja escrito na forma matricial. As equações fornecidas são (copiei exatamente do enunciado):
\begin{cases} 4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=6\\[4pt] -4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=13\\[4pt] 8 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}=20\\[4pt] 20 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=15 \end{cases}
O que se pede: escrever esse sistema na forma matricial, ou seja, numa equação do tipo A\mathbf{x}=\mathbf{b} (matriz dos coeficientes vezes vetor de incógnitas igual ao vetor dos termos independentes).]

Passo 2

Vou explicar o que significa escrever um sistema na forma matricial A\mathbf{x}=\mathbf{b}, passo a passo e bem devagarinho.
  • A é a matriz dos coeficientes: cada linha de A contém os coeficientes das incógnitas naquela equação, sempre na mesma ordem de variáveis.
  • \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas; aqui a ordem natural é \mathbf{x}=(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})^{T}.
  • \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes (os números à direita do sinal de igual em cada equação).
  • O produto A\mathbf{x} faz com que cada linha da matriz A seja multiplicada pelo vetor \mathbf{x}, reproduzindo cada equação do sistema.
Também é importante ter atenção a variáveis que não aparecem explicitamente: o coeficiente dessas variáveis naquela equação é zero. Ex.: se uma equação não tem x_{4}, então na linha correspondente o quarto elemento é 0.

Passo 3

Agora extraio os coeficientes de cada equação (sempre na ordem \,x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\,) e os termos independentes (lado direito):
  • Da primeira equação \;4 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}=6\; os coeficientes são 4,\,2,\,1,\,0 (peguei o 0 para x_{4} porque x_{4} não aparece) e o termo independente é 6.
  • Da segunda equação \;-4 x_{1}-6 x_{2}+x_{3}+3 x_{4}=13\; os coeficientes são -4,\,-6,\,1,\,3 e o termo independente é 13.
  • Da terceira equação \;8 x_{1}+16 x_{2}-3 x_{3}-4 x_{4}=20\; os coeficientes são 8,\,16,\,-3,\,-4 e o termo independente é 20.
  • Da quarta equação \;20 x_{1}+10 x_{2}+4 x_{3}-3 x_{4}=15\; os coeficientes são 20,\,10,\,4,\,-3 e o termo independente é 15.
(Reforçando: esses números foram todos retirados diretamente das equações do enunciado.)

Passo 4

Com os coeficientes organizados em linhas e os termos independentes em um vetor coluna, construo a matriz A, o vetor \mathbf{x} e o vetor \mathbf{b}. Escrevo-os em forma matricial:
A = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -4 & -6 & 1 & 3\\[4pt] 8 & 16 & -3 & -4\\[4pt] 20 & 10 & 4 & -3 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{x} = \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 6\\[4pt] 13\\[4pt] 20\\[4pt] 15 \end{pmatrix}.]

Passo 5

Finalmente, escrevo o sistema na forma matricial usando essas três peças. A forma matricial é a seguinte:
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
ou explicitamente,
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -4 & -6 & 1 & 3\\[4pt] 8 & 16 & -3 & -4\\[4pt] 20 & 10 & 4 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6\\[4pt] 13\\[4pt] 20\\[4pt] 15 \end{pmatrix}.
Como comentário prático (útil em provas): outra forma equivalente de apresentar é a matriz aumentada [A\,|\,\mathbf{b}], que junta A e \mathbf{b} numa única matriz:
\left(\begin{array}{cccc|c} 4 & 2 & 1 & 0 & 6\\[4pt] -4 & -6 & 1 & 3 & 13\\[4pt] 8 & 16 & -3 & -4 & 20\\[4pt] 20 & 10 & 4 & -3 & 15 \end{array}\right).]

Resposta

[
\begin{pmatrix} 4 & 2 & 1 & 0\\[4pt] -4 & -6 & 1 & 3\\[4pt] 8 & 16 & -3 & -4\\[4pt] 20 & 10 & 4 & -3 \end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x_{1}\\[4pt] x_{2}\\[4pt] x_{3}\\[4pt] x_{4} \end{pmatrix}

\begin{pmatrix} 6\\[4pt] 13\\[4pt] 20\\[4pt] 15 \end{pmatrix}]

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