Escreva os seguintes sistemas na forma matricial:
(c) \left\{\begin{array}{l}8 x+12 y-4 z=-36 \\\\ 6 x+5 y+7 z=11 \\\\ 2 x+y+6 z=16\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o seguinte sistema de três equações e pede que o escrevamos na forma matricial:
\left\{ \begin{array}{l} 8x+12y-4z=-36\\[4pt] 6x+5y+7z=11\\[4pt] 2x+y+6z=16 \end{array} \right.
As informações relevantes fornecidas são os coeficientes de x,y,z em cada equação e os termos independentes (os números à direita dos sinais de igual).]

Passo 2

Explicação do que é a “forma matricial” (passo didático): escrever um sistema linear na forma
A\mathbf{x}=\mathbf{b},
onde:
  • A é a matriz dos coeficientes (cada linha corresponde a uma equação, cada coluna a uma variável);
  • \mathbf{x} é o vetor coluna das incógnitas (a ordem das incógnitas deve ser escolhida e mantida);
  • \mathbf{b} é o vetor coluna dos termos independentes (os lados direitos das equações).
Aqui vamos usar a ordem das incógnitas \,x,y,z\,. Em notação, \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix}.]

Passo 3

Extrair os coeficientes de cada equação (pegando os números diretamente do sistema dado):
  • Da primeira equação 8x+12y-4z=-36 vêm os coeficientes \,8,\;12,\;-4 e o termo independente -36.
  • Da segunda equação 6x+5y+7z=11 vêm os coeficientes \,6,\;5,\;7 e o termo independente 11.
  • Da terceira equação 2x+y+6z=16 vêm os coeficientes \,2,\;1,\;6 e o termo independente 16.

Passo 4

Montar as matrizes com esses coeficientes e termos independentes. A matriz dos coeficientes A, o vetor das incógnitas \mathbf{x} e o vetor dos termos independentes \mathbf{b} são:
A=\begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=\begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix},\qquad \mathbf{b}=\begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}.
Portanto, a forma matricial do sistema é
\begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 8 & 12 & -4\\[4pt] 6 & 5 & 7\\[4pt] 2 & 1 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x\\[4pt]y\\[4pt]z\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-36\\[4pt]11\\[4pt]16\end{pmatrix}]

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