Use o produto interno para verificar se o triângulo de vertíces
e
é um triângulo retângulo. Calcule sua área.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas claras:
- Verificar, usando o produto interno (produto escalar), se o triângulo de vértices
, e é retângulo. - Calcular a área desse triângulo.
Informações dadas:
- Coordenadas dos vértices:
, , .
Passo 2
Primeiro vamos criar os vetores que representam os lados do triângulo, todos “saindo” de um mesmo vértice quando necessário para testar ângulos. Definição padrão:
(subtração componente a componente).
Calculemos:
Também é útil o vetor
(é só
).
Passo 3
Agora uma pequena aula sobre produto escalar (produto interno) em
, para usar na prova:
- Definição: para
e ,
- Interpretação geométrica:
, onde é o ângulo entre e . - Consequência prática: se
e nenhum dos vetores for nulo, então e portanto — ou seja, os vetores são perpendiculares.
Para testar se o triângulo é retângulo em um vértice, tomo os dois vetores que saem desse vértice e calculo seu produto escalar; se for zero, o ângulo nesse vértice é reto.
Passo 4
Teste para cada vértice (vou mostrar os cálculos completos):
Ângulo em
: use
e
.
Logo o ângulo em
NÃO é reto.
Ângulo em
: use
e
(ambos saem de
).
Aqui o produto escalar é zero, portanto os vetores são perpendiculares e o ângulo em
é reto. Assim o triângulo é retângulo em
.
Ângulo em
: por completude, poderia testar com
e
, mas não é necessário já que já encontramos um ângulo de
. (Um triângulo só pode ter um ângulo reto ou, no caso degenerado, mais — aqui é exatamente um.)
Passo 5
Como o triângulo é retângulo em
, os lados adjacentes ao vértice
— que são os segmentos
e
— são perpendiculares. Para calcular a área de um triângulo retângulo é muito simples: usar
ou seja, metade do produto das medidas dos dois lados perpendiculares.
Passo 6
Calculemos os comprimentos dos catetos
e
.
Norma (módulo) de um vetor
é
Então
Interessante: os dois catetos têm o mesmo comprimento
, então é um triângulo retângulo isósceles na hipótese
.
Agora a área:
Passo 7
Resumo final: o produto escalar mostrou que o ângulo em
é reto e o cálculo das normas deu área igual a
. Força aí nos estudos — já era meio caminho andado!
Resposta
O triângulo é retângulo em
.
Área .
Área