Use o produto interno para verificar se o triângulo de vertíces A= (2,1), B=(6,3) e C=(4,7) é um triângulo retângulo. Calcule sua área.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas claras:
  • Verificar, usando o produto interno (produto escalar), se o triângulo de vértices A=(2,1), B=(6,3) e C=(4,7) é retângulo.
  • Calcular a área desse triângulo.
Informações dadas:
  • Coordenadas dos vértices: A=(2,1), B=(6,3), C=(4,7).

Passo 2

Primeiro vamos criar os vetores que representam os lados do triângulo, todos “saindo” de um mesmo vértice quando necessário para testar ângulos. Definição padrão: \vec{PQ} = Q - P (subtração componente a componente).
Calculemos:
\vec{AB} = B - A = (6-2,\;3-1) = (4,\;2).
\vec{AC} = C - A = (4-2,\;7-1) = (2,\;6).
\vec{BC} = C - B = (4-6,\;7-3) = (-2,\;4).
Também é útil o vetor \vec{BA} = A - B = (-4,\;-2) (é só -\vec{AB}).

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre produto escalar (produto interno) em \mathbb{R}^2, para usar na prova:
  • Definição: para \vec{u}=(u_1,u_2) e \vec{v}=(v_1,v_2),
\vec{u}\cdot\vec{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2.
  • Interpretação geométrica: \vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre \vec{u} e \vec{v}.
  • Consequência prática: se \vec{u}\cdot\vec{v}=0 e nenhum dos vetores for nulo, então \cos\theta=0 e portanto \theta=90^\circ — ou seja, os vetores são perpendiculares.
Para testar se o triângulo é retângulo em um vértice, tomo os dois vetores que saem desse vértice e calculo seu produto escalar; se for zero, o ângulo nesse vértice é reto.

Passo 4

Teste para cada vértice (vou mostrar os cálculos completos):
Ângulo em A: use \vec{AB} e \vec{AC}.
\vec{AB}\cdot\vec{AC} = (4)(2) + (2)(6) = 8 + 12 = 20 \neq 0.
Logo o ângulo em A NÃO é reto.
Ângulo em B: use \vec{BA} e \vec{BC} (ambos saem de B).
\vec{BA}\cdot\vec{BC} = (-4)(-2) + (-2)(4) = 8 - 8 = 0.
Aqui o produto escalar é zero, portanto os vetores são perpendiculares e o ângulo em B é reto. Assim o triângulo é retângulo em B.
Ângulo em C: por completude, poderia testar com \vec{CA} e \vec{CB}, mas não é necessário já que já encontramos um ângulo de 90^\circ. (Um triângulo só pode ter um ângulo reto ou, no caso degenerado, mais — aqui é exatamente um.)

Passo 5

Como o triângulo é retângulo em B, os lados adjacentes ao vértice B — que são os segmentos BA e BC — são perpendiculares. Para calcular a área de um triângulo retângulo é muito simples: usar
\text{Área} = \frac{1}{2}\times(\text{cateto}_1)\times(\text{cateto}_2),Á
ou seja, metade do produto das medidas dos dois lados perpendiculares.

Passo 6

Calculemos os comprimentos dos catetos \vec{BA} e \vec{BC}.
Norma (módulo) de um vetor \vec{u}=(u_1,u_2) é
\|\vec{u}\| = \sqrt{u_1^2 + u_2^2}.
Então
\|\vec{BA}\| = \sqrt{(-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}.
\|\vec{BC}\| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2} = \sqrt{4 + 16} = \sqrt{20}.
Interessante: os dois catetos têm o mesmo comprimento \sqrt{20}, então é um triângulo retângulo isósceles na hipótese B.
Agora a área:
\text{Área} = \frac{1}{2}\,\|\vec{BA}\|\,\|\vec{BC}\| = \frac{1}{2}\,\sqrt{20}\,\sqrt{20} = \frac{1}{2}\times 20 = 10.Á

Passo 7

Resumo final: o produto escalar mostrou que o ângulo em B é reto e o cálculo das normas deu área igual a 10. Força aí nos estudos — já era meio caminho andado!

Resposta

O triângulo é retângulo em B.
Área =10.

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