Considere a função f(x)=rllx^2, & se & x <= 1 2 x-1, & se & x>1
f é contínua em x=1?

Passo 1

Temos a função por partes e queremos ver se ela é contínua em x = 1. O conteúdo aqui é definição de continuidade em ponto: f é contínua em x = a se \ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.

Passo 2

Calcular f(1). Como 1 ≤ 1, usamos a primeira parte: \ $f(1)=1^2=1$.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda xto1^-. Para x<1, f(x)=x^2, então \ $\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}x2=12=1$.

Passo 4

Calcular o limite à direita xto1^+. Para x>1, f(x)=2x-1, logo \ $\lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}(2x-1)=2\cdot1-1=1$.

Passo 5

Como $\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1+}f(x)=1$ e isso coincide com $f(1)=1$, pela definição, f é contínua em x=1.

Resposta

Sim, f é contínua em x = 1, pois limxto1^-f(x)=limxto1^+f(x)=f(1)=1.

Exercícios relacionados