Considere a função
é contínua em
?
Passo 1
Temos a função por partes e queremos ver se ela é contínua em x = 1. O conteúdo aqui é definição de continuidade em ponto: f é contínua em x = a se \ $\lim_{x\to a}f(x)=f(a)$.
Passo 2
Calcular f(1). Como 1 ≤ 1, usamos a primeira parte: \ $f(1)=1^2=1$.
Passo 3
Calcular o limite à esquerda
. Para x<1, f(x)=x^2, então \ $\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}x2=12=1$.
Passo 4
Calcular o limite à direita
. Para x>1, f(x)=2x-1, logo \ $\lim_{x\to1+}f(x)=\lim_{x\to1+}(2x-1)=2\cdot1-1=1$.
Passo 5
Como $\lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1+}f(x)=1$ e isso coincide com $f(1)=1$, pela definição, f é contínua em x=1.
Resposta
Sim, f é contínua em x = 1, pois
.