Escreva a série binomial e determine o raio de convergência para as seguintes funções:
(1+x2)^-2

Passo 1

O enunciado pede para desenvolver a expansão em série binomial da função (1 + x2)^-2 e achar seu raio de convergência. Vamos usar o Teorema do Binômio Geral, que permite expandir (1 + t)^alpha em série de potências.

Passo 2

O Teorema do Binômio Geral diz que para qualquer alphainR e |t|<1 vale:
(1 + t)^alpha = sumn=0^infty alpha choose n,t^n
onde
alpha choose n = alpha(alpha-1)(alpha-2)cdots(alpha-n+1)n!

Passo 3

Agora tomamos alpha = -2. Então:
-2 choose n = (-2)(-3)(-4)cdots(-2-n+1)n!
Como há n fatores no numerador e cada um traz um sinal negativo, ficamos com (-1)^n e em valor absoluto temos
(2)(3)(4)cdots(n+1) = (n+1)!/1! = (n+1)!
Logo
$$
{-2 \choose n} = (-1)^n \frac{(n+1)!}{n!} = (-1)^n (n+1).
$$

Passo 4

Substituindo na série com t = x2, obtemos
l(1 + tfracx2r)^-2 = sumn=0^infty (-2 choose n) l(tfracx2r)^n = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n2^n

Passo 5

Para o raio de convergência, aplicamos o critério de que a série em t=x/2 converge se |t|<1. Aqui
l|tfracx2r| < 1 Longrightarrow |x| < 2
Portanto o raio de convergência é R = 2.

Resposta

l(1 + tfracx2r)^-2 = sumn=0^infty (-1)^n (n+1) x^n2^n, R = 2

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