Escreva a série binomial e determine o raio de convergência para as seguintes funções:
Passo 1
O enunciado pede para expandir em série binomial a função
e determinar seu raio de convergência. O conteúdo aqui é a expansão de
usando séries de potências, e vamos precisar da fórmula geral do binômio para expoentes não inteiros.
Passo 2
Definimos
. Assim, podemos reescrever
como
com
.
Passo 3
A fórmula geral da série binomial para
é
onde
Passo 4
No nosso caso,
. Assim,
Passo 5
Substituindo
na série, obtemos
Passo 6
Para a convergência da série binomial precisamos de
, ou seja,
Logo, o raio de convergência é
.
Resposta
A série binomial é
e o raio de convergência é
.