Escreva a série binomial e determine o raio de convergência para as seguintes funções:
(1-2 x)^1 / 3

Passo 1

O enunciado pede para expandir em série binomial a função (1-2x)^1/3 e determinar seu raio de convergência. O conteúdo aqui é a expansão de (1+u)^alpha usando séries de potências, e vamos precisar da fórmula geral do binômio para expoentes não inteiros.

Passo 2

Definimos u = -2x. Assim, podemos reescrever (1-2x)^1/3 como (1+u)^1/3 com u = -2x.

Passo 3

A fórmula geral da série binomial para (1+u)^alpha é
(1+u)^alpha = sumk=0^infty binomalphaku^k,
onde
binomalphak = alpha(alpha-1)cdots(alpha-k+1)k!

Passo 4

No nosso caso, alpha = tfrac13. Assim,
binom1/3k = (1/3)(1/3-1)(1/3-2)cdots(1/3-(k-1))k!

Passo 5

Substituindo u = -2x na série, obtemos
(1-2x)^1/3 = sumk=0^infty binom1/3k(-2x)^k

Passo 6

Para a convergência da série binomial precisamos de |u|<1, ou seja,
|-2x| < 1 Longrightarrow |x| < tfrac12
Logo, o raio de convergência é R = tfrac12.

Resposta

A série binomial é
(1-2x)^1/3 = sumk=0^infty binom1/3k(-2x)^k
e o raio de convergência é R = tfrac12.

Exercícios relacionados