Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
f(x)=integral 21+x^5 d x

Passo 1

O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=∫(2/(1+x^5))dx
além do raio de convergência. Vamos usar expansão em série conhecida (geométrica) e depois integrar termo a termo.

Passo 2

Sabemos que para |u|<1 vale
11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n
Aqui tomamos u=x^5, então começamos escrevendo o integrando como série:
21+x^5=2sumn=0^infty(-1)^n x^5n,
válida para |x^5|<1, ou seja |x|<1.

Passo 3

Agora integramos termo a termo:
f(x)=C+integral 2sumn=0^infty(-1)^n x^5n,dx =C+2sumn=0^infty(-1)^n x^5n+15n+1

Passo 4

Para a série de Maclaurin tomamos C=0 (f(0)=0), obtendo
f(x)=2sumn=0^infty(-1)^nx^5n+15n+1

Passo 5

O raio de convergência vem de |x^5|<1, logo R=1.

Resposta

A série de Maclaurin é
f(x)=2sumn=0^infty(-1)^nx^5n+15n+1
e o raio de convergência é R=1.

Exercícios relacionados