Use séries conhecidas para determinar as séries de Taylor ou Maclaurin das funções a seguir bem como os raios de convergência.
Passo 1
O enunciado pede a série de Maclaurin de
f(x)=∫(2/(1+x^5))dx
além do raio de convergência. Vamos usar expansão em série conhecida (geométrica) e depois integrar termo a termo.
f(x)=∫(2/(1+x^5))dx
além do raio de convergência. Vamos usar expansão em série conhecida (geométrica) e depois integrar termo a termo.
Passo 2
Sabemos que para |u|<1 vale
Aqui tomamos u=x^5, então começamos escrevendo o integrando como série:
válida para |x^5|<1, ou seja |x|<1.
Passo 3
Agora integramos termo a termo:
Passo 4
Para a série de Maclaurin tomamos C=0 (f(0)=0), obtendo
Passo 5
O raio de convergência vem de |x^5|<1, logo R=1.
Resposta
A série de Maclaurin é
e o raio de convergência é R=1.